Partialbrüche

Partialbrüche

Partialbrüche (Teilbrüche). Eine rationale Funktion (ein rationaler Bruch) einer Veränderlichen x läßt sich immer nur in einer Weise zerfallen: in eine ganze Funktion und in eine Summe von sogenannten Partialbrüchen, die konstante Zähler und als Nenner die einzelnen Faktoren des Nenners der zu zerlegenden Funktion haben.

Es sei zu zerlegen f(x)/F(x) = (xa) (xb) ... (xl). d.h. die Faktoren von F (x) seien zunächst alle reell und voneinander verschieden. Ist F(x) von gleichem oder niedrigerem Grad als f(x), so muß zunächst durch Division die ganze Funktion abgespalten werden. Der Rest der Division ergibt φ(x)/F(x), wo jetzt φ(x) von niedrigerem Grad als F(x) ist. Man hat nun


Partialbrüche

[F' (x) ist die Ableitung von F (x)]. Anstatt durch Differentialrechnung kann die Größe F' (a) auch durch rein algebraische Prozesse ermittelt werden. Es mögen ferner α der Wurzeln von F(x) = 0 einander gleich sein, so daß F(x) = (xa)αφ(x). Es sei ferner fα(x) der Quotient, welcher sich bei Division einer Funktion f(x) durch xa ergibt. Alsdann kann man von


Partialbrüche

zunächst einen Bruch mit Nenner (x – a)α abspalten, indem man hat


Partialbrüche

Auf den zweiten rechts stehenden Ausdruck wird dasselbe Verfahren angewendet und man gelangt dadurch zu einer Entwicklung:


Partialbrüche

Sind zwei Wurzeln von F(x) = 0 komplex konjugiert, z.B. a ± b i, so empfiehlt es sich, die beiden betreffenden Partialbrüche auf gemeinsamen Nenner zu bringen, wodurch ein Bruch mit linearem

Zähler und quadratischem Nenner entsteht von der Form


Partialbrüche

Bei der praktischen Ausrechnung von Beispielen empfiehlt es sich vielfach, die Partialbruchzerlegung zunächst mit unbestimmten Koeffizienten anzuschreiben und, indem man die Partialbrüche wieder auf gemeinsamen Nenner bringt, die Koeffizienten durch Koeffizientenvergleichung zu bestimmen. Beispiel


Partialbrüche

wo der Nenner gleich (x – 1)2(x + 1) (x2 + 2x + 2), gibt durch Abspalten der ganzen Funktion, und Anschreiben der Partialbruchentwicklung:


Partialbrüche

Die Vereinigung der Brüche ergibt für die unbekannten Koeffizienten die Relationen

A1 + B + C = 3; A + 2A1 + C1C = –7; 3A + A1BCC1 = –3; 4A – 2A1 – 2B + CC1 = 8; 2A – 2A1 + 2B + C1 = 9, hieraus A = 1; A1 = –2; B = 2; C = 3; C1 = –1, also


Partialbrüche

Die Partialbruchzerlegung ist für die Integration der rationalen Funktionen von Wichtigkeit.


Literatur: [1] Serret, Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung, deutsch von Harnack, I, Leipzig 1884, Kap. 12. – [2] Reuschle, Abgekürzte algebraische Division bei quadratischem und höherem Divisor, Zeitschr. für Mathematik und Physik 41, 93–102 (1896).

Wölffing.


http://www.zeno.org/Lueger-1904.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Bruchrechnung — Ein Kuchen ist in vier gleiche Teile geteilt. Jeder Teil des Kuchens entspricht 1⁄4. Wird eines der Kuchenstücke weggenommen, dann bleiben 3⁄4 übrig: 1 − 1⁄4 = 3⁄4. Die Bruchrechnung im engeren Sinn bezeichnet das Rechnen mit Brüchen und gehört… …   Deutsch Wikipedia

  • Integralrechnung — ist die umgekehrte Operation der Differentialrechnung. Eine Funktion F(x) ist Integral der Funktion f(x) und wird mit f(x) d x bezeichnet, wenn d F (x)/d x = f (x) ist; f(x) heißt Integrand. A. Unbestimmte Integrale. Weil die Ableitung einer… …   Lexikon der gesamten Technik

  • Bruch (Mathematik) — Ein Kuchen ist in vier gleiche Teile geteilt. Jeder Teil des Kuchens entspricht 1⁄4. Wie man sieht, entsprechen zwei Teile (2 · 1⁄4 = 2⁄4) einem halben (=1⁄2) Kuchen. Die Bruchrechnung befasst sich mit der Division von ganzen Zahlen. Ein Bruch… …   Deutsch Wikipedia

  • Bruchrechnen — Ein Kuchen ist in vier gleiche Teile geteilt. Jeder Teil des Kuchens entspricht 1⁄4. Wie man sieht, entsprechen zwei Teile (2 · 1⁄4 = 2⁄4) einem halben (=1⁄2) Kuchen. Die Bruchrechnung befasst sich mit der Division von ganzen Zahlen. Ein Bruch… …   Deutsch Wikipedia

  • Bruchstrich — Ein Kuchen ist in vier gleiche Teile geteilt. Jeder Teil des Kuchens entspricht 1⁄4. Wie man sieht, entsprechen zwei Teile (2 · 1⁄4 = 2⁄4) einem halben (=1⁄2) Kuchen. Die Bruchrechnung befasst sich mit der Division von ganzen Zahlen. Ein Bruch… …   Deutsch Wikipedia

  • Bruchteil — Ein Kuchen ist in vier gleiche Teile geteilt. Jeder Teil des Kuchens entspricht 1⁄4. Wie man sieht, entsprechen zwei Teile (2 · 1⁄4 = 2⁄4) einem halben (=1⁄2) Kuchen. Die Bruchrechnung befasst sich mit der Division von ganzen Zahlen. Ein Bruch… …   Deutsch Wikipedia

  • Echter Bruch — Ein Kuchen ist in vier gleiche Teile geteilt. Jeder Teil des Kuchens entspricht 1⁄4. Wie man sieht, entsprechen zwei Teile (2 · 1⁄4 = 2⁄4) einem halben (=1⁄2) Kuchen. Die Bruchrechnung befasst sich mit der Division von ganzen Zahlen. Ein Bruch… …   Deutsch Wikipedia

  • Nenner — Ein Kuchen ist in vier gleiche Teile geteilt. Jeder Teil des Kuchens entspricht 1⁄4. Wie man sieht, entsprechen zwei Teile (2 · 1⁄4 = 2⁄4) einem halben (=1⁄2) Kuchen. Die Bruchrechnung befasst sich mit der Division von ganzen Zahlen. Ein Bruch… …   Deutsch Wikipedia

  • Partialbruch — In der Mathematik ist die Partialbruchzerlegung ein Verfahren, rationale Funktionen in einer standardisierten Form darzustellen, die ihre weitere Bearbeitung erleichtert. Ihm liegt die Tatsache zugrunde, dass jede rationale Funktion als Summe von …   Deutsch Wikipedia

  • Partialbruchentwicklung — In der Mathematik ist die Partialbruchzerlegung ein Verfahren, rationale Funktionen in einer standardisierten Form darzustellen, die ihre weitere Bearbeitung erleichtert. Ihm liegt die Tatsache zugrunde, dass jede rationale Funktion als Summe von …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”