Diskriminante

Diskriminante

Diskriminante.

a) Ist eine binäre Form n. Ordnung f(x, y) (s. Form) oder eine durch Nullsetzen derselben entstehende Gleichung f(x, y) = 0 gegeben, so heißt Diskriminante D diejenige Koeffizientenverbindung derselben, deren Verschwinden anzeigt, daß die algebraische Gleichung zwei gleiche Wurzeln besitzt. D ist vom Grad 2(n – 1) in den Koeffizienten a0 a1 ... an von f; sie ist eine Invariante. Man erhält D als Resultante von ∂f/∂x = 0 und ∂f/∂y = 0. Sind ferner α1 α2 ... αn die Wurzeln der algebraischen Gleichung, so ist

D = (a2 – α1)2 (α3 – α1)2 ... n – α1)2. (α3 – α2)2 ... (αn – α2)2 ..... αn – αn – 1)2,

also gleich dem Produkt der Quadrate der Wurzeldifferenzen. Die Diskriminante von f · φ ist D von f mal D von φ mal Quadrat der Resultante von f und φ.

Für f = dx2 + 2bxy + cy2 ist D = ac – b2.

Für f = ax3 + 3bx2y + 3cxy2 + dy3 ist D = 4 (ac – b2) (bd – c2) – (ad – bc)2.

Für f = ax4 + 4bx3y, + 5cx2y2 + 4dxy3 + ey4 ist

D = (ae – 4bd + 3c2)3 27 (ace + 2bcd – ad2 – b2e – c3)2.

b) Ist eine ternäre Form n Ordnung f (x, y, z) oder eine durch Nullsetzen derselben entstehende Gleichung einer ebenen Kurve gegeben, so heißt Diskriminante D die Koeffizientenverbindung, deren Verschwinden die Existenz eines Doppelpunktes (s. Punkte) der betreffenden

Kurve anzeigt. Sie ist Resultante von ∂f/∂x = 0, ∂f/∂y = 0, ∂f/∂z = 0, und vom Grad 3 (n – 2)2.

Die Diskriminante der Kegelabschnittgleichung ax2 + 2bxy + cy2 + 2dxz + 2eyz + fz2 =0 ist


Diskriminante

sie verschwindet, wenn der Kegelschnitt in ein Geradenpaar zerfällt.

c) Bei quaternären Formen bezw. Flächengleichungen zeigt das Verschwinden der Diskriminante die Existenz eines Knotenpunktes (s. Punkte) an u.s.w.


Literatur: [1] Baltzer, Theorie und Anwendung der Determinanten, 5. Aufl., Leipzig 1881, S. 135. – [2] Salmon, G., Vorlesungen über die Algebra der linearen Transformationen, deutsch von W. Fiedler, 2. Aufl., Leipzig 1877, 11. und 16. Vorles. – [3] Gordan, P., Vorlesungen über Invariantentheorie, herausgeg. von Kerschensteiner, Bd. 1, § 14. – [4] Faà di Bruno, Einleitung in die Theorie der binären Formen, deutsch von Walter, Leipzig 1881, § 7. – [5] Hagen, J., Synopsis der höheren Mathematik, Bd. 1, Berlin 1891, S. 197 ff.

Wölffing.


http://www.zeno.org/Lueger-1904.

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Diskriminante — Diskriminante. Sind a1 ... an die n Wurzeln einer algebraischen Gleichung (s. d.) nten Grades und bildet man der Reihe nach die Differenzen a1 a2, a1 a3, ..., a1 an; a2 a3, a2 a4, ..., a2 an; a3 a4, ... bis zuletzt an 1 an, so ist das Quadrat des …   Meyers Großes Konversations-Lexikon

  • Diskriminante — Die Diskriminante (lat. discriminare = unterscheiden) ist ein Rechenausdruck, der Aussagen über Zahl und Art der Lösungen einer algebraischen Gleichung ermöglicht. Am bekanntesten ist die Diskriminante einer quadratischen Gleichung.… …   Deutsch Wikipedia

  • Diskriminante — Dis|kri|mi|nạn|te 〈f. 19; Math.〉 Größe, die zur Unterscheidung od. Kennzeichnung der bei der Lösung einer algebraischen Aufgabe auftretenden Spezialfälle dient [<lat. discriminans „absondernd, trennend“] * * * Dis|kri|mi|nạn|te, die; , n [zu …   Universal-Lexikon

  • Diskriminante (Begriffsklärung) — Diskriminante steht für die Diskriminante in der Algebra zur Lösbarkeit algebraischer Ausdrücke die Diskriminante (Modulform), eine Funktion in der Zahlentheorie die Diskriminante (algebraische Zahlentheorie), ein Hauptideal in einem… …   Deutsch Wikipedia

  • Diskriminante (Modulform) — Die Diskriminante Δ ist eine auf der oberen Halbebene holomorphe Funktion. Sie spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der elliptischen Funktionen und Modulformen. Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Produktentwicklung …   Deutsch Wikipedia

  • Diskriminante (algebraische Zahlentheorie) — In der Algebraischen Zahlentheorie bezeichnet die Diskriminante ein Hauptideal in einem Ganzheitsring, welches eine zahlentheoretische Aussage über die Körpererweiterung zweier Zahlkörper macht. Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften und …   Deutsch Wikipedia

  • Diskriminante — Dis|kri|mi|nạn|te 〈f.; Gen.: , Pl.: n; Math.〉 Größe, die zur Unterscheidung od. Kennzeichnung der bei der Lösung einer algebraischen Aufgabe auftretenden Spezialfälle dient [Etym.: <lat. discriminans, Part. Präs. zu discriminare »absondern,… …   Lexikalische Deutsches Wörterbuch

  • Diskriminante — Dis|kri|mi|nan|te die; , n <aus lat. discriminans, Gen. discriminantis, Part. Präs. von discriminare, vgl. ↑diskriminieren> math. Ausdruck, der bei Gleichungen zweiten u. höheren Grades die Eigenschaft der Wurzel angibt (Math.) …   Das große Fremdwörterbuch

  • Diskriminante — Dis|kri|mi|nạn|te, die; , n <lateinisch> (mathematischer Ausdruck bei Gleichungen zweiten und höheren Grades) …   Die deutsche Rechtschreibung

  • Diskriminante Funktion — Eine Diskriminanzfunktion oder Trennfunktion ist eine Funktion, die bei einem Klassifikationsverfahren die Grenzen zwischen verschiedenen Klassen angibt. Die Null beziehungsweise Sprungpunkte der Diskriminanzfunktion bilden die Trennflächen… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”