Fokallinien

Fokallinien (Brennlinien, exzentrische Kegelschnitte), der Ort von Fokalpunkten. Ein Fokalpunkt (Brennpunkt) ist der Mittelpunkt einer unendlich kleinen Kugel, die mit einer gegebenen Fläche zweiter Ordnung eine doppelte Berührung eingeht. Die zugehörige Berührungssehne heißt Directrix. Ein Fokalpunkt ist auch ein Punkt, durch welchen zwei den unendlich fernen Kugelkreis schneidende Tangenten gehen, während zugleich die entsprechenden Tangentialebenen der Fläche die entsprechenden Tangenten dieses Kreises enthalten. Die Fokalpunkte treten daher in unendlich großer Zahl als Fokallinien auf.

Jede Fläche zweiter Ordnung x²/L + y²/M + z²/N = 1 besitzt in den Hauptebenen die drei Fokalkegelschnitte

Dieselben sind mit den Hauptschnitten konfokal und bestehen bei den Mittelpunktsflächen aus einer Hyperbel, einer reellen und einer imaginären Ellipse. Die Schnittpunkte der Fokallinien mit der Fläche sind Kreispunkte derselben; es gibt beim Ellipsoid und zweimantligen Hyperboloid vier, beim einmantligen Hyperboloid keine reellen Kreispunkte. Das Paraboloid x²/L + y²/M = 2z besitzt die zwei Fokalparabeln

[141] die mit den Hauptschnitten konfokal sind. Das elliptische Paraboloid besitzt zwei, das hyperbolische keine reellen Kreispunkte. Ein Kegel hat zwei reelle oder imaginäre gerade Linien (Fokalachsen) zu Fokallinien. Ein Zylinder hat zu Fokallinien Parallelen zu den Mantellinien durch die Brennpunkte der Leitkurve.

Literatur: Salmon, Analytische Geometrie des Raumes, deutsch von Fiedler, 3. Aufl., Leipzig 1879, 1. Teil, Kap. 8.

Wölffing.