Integraph

Integraph, ein Instrument, welches zur mechanischen Ausführung der Integrationen dient, zu einer gezeichneten Kurve y = f(x) die zugehörige Integralkurve Y = ∫f (x, y)d x + C zeichnet und den Inhalt gezeichneter Flächenumrisse mißt.

Um das kinematische Prinzip abzuleiten, auf welchem der Integraph beruht, nehmen wir an, es sei in Fig. 1 in bezug auf die rechtwinkligen Koordinatenachsen O X, O Y die durch eine Gleichung y = f(x) gegebene Kurve k gezeichnet; ferner sei in bezug auf die rechtwinkligen Koordinatenachsen Ω X, Ω Y' für eine angenommene Längeneinheit F D die zugehörige Integralkurve κ, deren Gleichung, weil wir jene Konstante C = o annehmen, Y = ∫f (x, y)d x ist. Die Abszisse O D, die Ordinate D P und das Stück O P der vom Koordinatenanfang O ausgehenden Kurve k begrenzen ein Flächenstück O D P. Die zu der Abszisse Ω Δ = O D = x gehörende Ordinate Δ Π = Y der Integralkurve κ, die von dem Koordinatenanfang Ω ausgeht, stellt den Inhalt dieses Flächenstücks im Quadratmaß der angenommenen Längeneinheit F D dar. Bezeichnen wir den Winkel D F P mit Θ, und differentiieren wir die Gleichung der Integralkurve, so folgt d Y/d x = f(x) = y = D P = tg Θ. Demnach bildet die Tangente Π τ in Punkt Π an der Integralkurve κ mit der Abszissenaxe Ω X den Winkel Θ, und es ist diese Tangente parallel F P.

Ein Integraph, der durch einen Schreibstift im Punkt Π die Integralkurve κ beschreiben soll, wenn ein Stift im Punkt P auf der Kurve k geführt wird, muß so eingerichtet sein, daß bei der Bewegung des Punktes P auf der Kurve k der Abstand D Δ der beiden auf der Abszissenachse senkrechten Geraden D P, Δ Π sowie die Einheitsstrecke D F konstant bleibt und daß ferner der in der Geraden Δ Π bleibende Punkt Π sich immer in der Richtung bewegt, die parallel zu der veränderlichen Geraden F P ist. In Fig. 2 ist ein Integraph schematisch gezeichnet, durch dessen praktische Ausführung diese Bedingungen erfüllt werden. Ein Rahmen R₁ R₂ R₃ R₄ mit den vier geriffelten Walzen w₁ w₂ w₃ w₄ bewegt sich als Wagen auf der horizontalen Zeichnungsebene in der Richtung der Abszissenachse O X und trägt den Zapfen F, durch den die angenommene Längeneinheit F D' bestimmt ist; auf der Rahmenseite R₁ R₃ gleitet eine Hülfe H, die einen Zapfen P' und einen mit einem Führungsstift P versehenen Arm trägt. Eine um den Zapfen F drehbare Schiene s ist mit einem Längsschlitz versehen, in welchem der Zapfen P' gleitet, und auf dieser Schiene s befindet sich eine bewegliche Hülfe h, die zwei gleiche, zur Schiene s senkrechte Arme h α, h β besitzt. Ferner gleitet auf der Rahmenseite R₁ R₄ eine Hülfe J mit einem Arm J Π, der im Π einen Schreibstift und in Π' eine vertikale Achse trägt. Diese vertikale Achse ist mit einem gleicharmigen Hebel γ Π' δ fest verbunden und trägt unten in einer Zarge die zu γ δ parallele Achse einer scharfrandigen Integrierrolle ρ. Diese Integrierrolle berührt die Zeichnungsebene unter dem Punkt Π'. Es ist γ δ gleich und parallel α β, und jenes Glied α h β ist durch zwei gleich lange parallele Stangen α δ, β γ mit dem gleicharmigen Hebel gelenkig verbunden, so daß α β γ δ ein Gelenkparallelogramm bilden. Wird nun der Stift P auf der gezeichneten Kurve k geführt, so bewegt sich der Wagen in der Richtung O X, die Hülfe H gleitet auf R₂ R₃, und die Zapfenmitte P' bewegt sich auf einer zu k kongruenten Kurve, die gegen k in der Richtung X O parallel verschoben ist. Demnach bildet die Schiene F s mit O X jenen Winkel Θ, weil die Strecke F D' gleich der Längeneinheit und D' P' = D P = y ist. Durch das Gelenkparallelogramm α β γ δ wird die Achse der Integrierrolle ρ senkrecht zur Schiene F s und die Integrierrolle ρ parallel zu dieser Schiene gestellt. Der Berührungspunkt der scharfrandigen Integrierrolle ρ auf der Zeichnungsebene, resp. der Punkt Π', durchläuft, während der Führungsstift P auf der Kurve k bewegt wird, die entsprechende Integralkurve, und der Schreibstift Π zeichnet die Integralkurve κ, welche gegen die vom Punkte Π' beschriebene in der Richtung X Ω um die Strecke Π' Π parallel verschoben ist; denn die Hülfe J gleitet auf dem bewegten Wagen längs R₁ R₄ und die Integrierrolle ρ bewegt sich, vermittelst des Gelenkparallelogrammes α β γ δ, in der zu F P' parallelen veränderlichen Richtung. Die Integraphen wurden zuerst von Abdank-Abakanowicz in verschiedenen Gestaltungen angegeben [1].

Bei der von G. Coradi in Zürich ausgeführten praktischen Anordnung des in Fig. 2 schematisch gezeichneten Integraphen ist zur Verminderung der Reibung die Hülse J durch ein[204] auf zwei Rollen in einer Rille längs R₁ R₄ bewegliches Glied ersetzt; ferner ist R₁ R₄ mit einer Teilung versehen, auf der die Verschiebung des Gliedes J bezw. der Inhalt einer mit dem Stift P umfahrenen Fläche abgelesen werden kann; der Zapfen F ist auf einer Querleiste, die eine Teilung trägt, verstellbar, um eventuell die Längeneinheit verschieden zu wählen.

Literatur: [1] Abdank-Abakanowicz, Br., Les Integraphes, Paris 1886; ferner »Die Integraphen«, deutsch bearbeitet von E. Bitterli, Leipzig 1889.

Burmester.

Fig. 1.

Fig. 2.