Kugel

Kugel, der Ort eines Punktes P im Raum, der von einem gegebenen Punkt O, dem Mittelpunkt, eine konstante Entfernung hat. OP = r heißt Halbmesser.

Die Gleichung einer Kugel mit Mittelpunkt a, b, c und Radius r ist (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = r². Eine Kugel ist durch vier ihrer Punkte bestimmt. Die Kugelgleichung hat als quadratische Glieder x² + y² + z²; alle Kugeln schneiden die unendlich ferne Ebene im sogenannten imaginären Kugelkreis. Die Verbindungsgerade zweier Kugelpunkte heißt Sehne und, wenn sie durch den Mittelpunkt geht, Durchmesser. Jeder Durchmesser wird im Mittelpunkt halbiert. Jede Ebene schneidet die Kugel in einem Kreis; derselbe hat, wenn die Ebene durch den Mittelpunkt geht, den Radius r und heißt Großkreis. Die Kugel kann durch Drehung eines Großkreises um einen Durchmesser erzeugt werden. Jeder Kugelkreis teilt die Kugel in zwei Abschnitte, Kappen oder Hauben, ein Großkreis teilt sie in zwei Halbkugeln. Der Teil der Kugel zwischen zwei parallelen Ebenen heißt Zone. Ein Kegel, dessen Spitze der Mittelpunkt und dessen Leitlinie ein Kugelkreis ist, schneidet aus der Kugel einen Sektor (Kugelausschnitt) aus. Durch zwei Kugelpunkte, die nicht Endpunkte eines Durchmessers sind, geht nur ein Großkreis; die Bogenlänge desselben zwischen den Punkten heißt ihre sphärische Entfernung. Zu jedem Durchmesser gehört ein Großkreis, dessen Ebene auf jenem senkrecht steht. Die Endpunkte des Durchmessers heißen Pole dieses Großkreises. Zu jedem Kugeldreieck (sphärisches Dreieck, Figur von drei Großkreisbögen gebildet) gehört ein Polardreieck, dessen Ecken die Pole der Seiten des ersteren sind. Die Tangentialebene in einem Kugelpunkt steht senkrecht auf dem zugehörigen Halbmesser. Die Tangenten von einem Punkt an eine Kugel sind alle gleich lang. Zwei Kugeln schneiden sich in einem Kreis, dessen Ebene auf der gemeinsamen Zentrale (Verbindungslinie der Mittelpunkte) senkrecht steht. Diese Ebene heißt Potenzebene und die von ihren Punkten an beide Kugeln gelegten Tangenten sind gleichlang. Die drei Potenzebenen, die drei Kugeln paarweise besitzen, schneiden sich in einer [741] Geraden (Potenzlinie), die senkrecht zur Ebene der drei Mittelpunkte steht. Die vier Potenzlinien, die zu je dreien von vier Kugeln gehören, schneiden sich in einem Punkt, dem Potenzpunkt. Zwei konzentrische Kugeln berühren sich im unendlich fernen Kugelkreis. Der Inhalt der Kugel von Radius r ist K = ⁴/₃ r³π; die Oberfläche O = 4r²π. Die Kugelhaube von Höhe h und Grundkreisradius ρ hat den Inhalt πh²/3 (3r – h) = πh/6 (3ρ² + h²) und die krumme Oberfläche 2 r π h = (ρ² + h²)π. Die Kugelzone von der Höhe h und den Grundkreisradien ρ und ρ₁ hat den Inhalt πh/6 (3ρ² + 3ρ₁² + h²) und die krumme Oberfläche 2 r π h. Der Kugelsektor, dessen zugehörige Kugelhaube die Höhe h hat, hat den Inhalt ²/₃ r² π h. – Kugeldreieck, s. Dreiecksberechnung, Bd. 3, S. 99 ff.

Literatur: [1] Reye, Th., Synthetische Geometrie der Kugeln und linearen Kugelsysteme mit einer Einleitung in die analytische Geometrie der Kugelsysteme, Leipzig 1879. – [2] Salmon, G., Analytische Geometrie des Raumes, deutsch von Fiedler, Bd. 1, Leipzig 1879. – [3] Fiedler, W., Cyklographie, Leipzig 1882. – [4] Briggs, W., und Edmonson, T.W., The geometrical properties of the sphere, London 1893. Ferner die unter »Geometrie« [1]–[4] und [6] aufgezählten Werke.

Wölffing.