- Kugelfunktionen
Kugelfunktionen heißen die Koeffizienten in der Entwicklung von
nach Zeigenden Potenzen von α.
Die n-Kugelfunktion ist:
also z.B. P(0) (x) = 1; P(1) (x) = x; P(2) (x) = 3/2 (x2 – 1/3) u.s.w. Die Kugelfunktionen können auch durch bestimmte Integrale dargestellt werden:
Sie genügen der Differentialgleichung:
Die Kugelfunktionen können wie die goniometrischen Funktionen zur Entwicklung der Funktionen in Reihen verwendet werden, die den Fourierschen analog sind. Der genannten Differentialgleichung genügen auch die Kugelfunktionen zweiter Art:
[744] Kugelfunktionen von zwei Veränderlichen ϑ und ψ heißen die Koeffizienten der Potenzen von r1/r in der Entwicklung von
wenn ϑ1 und ψ1 konstant sind. Sie genügen der Differentialgleichung:
Es ist
für m = n;
wo die Integration im komplexen Gebiet auf einem Weg auszuführen ist, der die Punkte ± 1 und ihre Verbindungslinie umschließt.
Die Kugelfunktionen finden eine ausgedehnte Verwendung in der mathematischen Physik, namentlich bei der Wärmebewegung in einer Kugel.
Literatur: [1] Heine, Handbuch der Kugelfunktionen und der verwandten Funktionen, 2. Aufl., Berlin 1878/81. – [2] Meyer, G.F., Vorlesungen über die Theorie der bestimmten Integrale, Leipzig 1871. – [3] Neumann, Fr., Beiträge zur Theorie der Kugelfunktionen, Leipzig 1878. – [4] Neumann, C., Vorlesungen über mathematische Physik, Heft 6, Leipzig 1887. – [5] Frischauf, Vorlesungen über Kreis- und Kugelfunktionenreihen, Leipzig 1897.
Wölffing.
http://www.zeno.org/Lueger-1904.
