Trajektorien [1]

Trajektorien, solche Kurven, welche die Kurven einer gegebenen Schar f(x, y; λ) = 0 überall, wo sie dieselben treffen, unter dem konstanten Winkel a schneiden.

Die Differentialgleichung der Trajektorien erhält man durch Elimination von λ aus:

Beispiel: Die Trajektorien der Geradenschar x – λy = 0 sind die logarithmischen Spiralen r = μe^{ϑ · cot α.} Ist α ein rechter Winkel, so entstehen die Orthogonaltrajektorien, deren Differentialgleichung man erhält, wenn man in der Differentialgleichung der gegebenen Kurvenschar y' durch –1/y' ersetzt. Beispiel: Geradenschar x – λy = 0; Differentialgleichung xy' – y = 0; Differentialgleichung der Orthogonaltrajektorien x + yy' = 0; durch Integration x² + y² = μ² konzentrische Kreisschar. Die Evolventen einer Kurve sind Orthogonaltrajektorien ihrer Tangenten.

Literatur: [1] Schlömilch, Uebungsbuch zum Studium der höheren Analysis, Bd. 2, 2. Aufl., Leipzig 1874, 42. – [2] Novak, Bestimmung von Trajektorien ebener Kurven, Pr. Wiener-Neustadt 1868. – [3] Steinworth, Ueber Linien, welche eine Schar gegebener Kurven unter konstantem Winkel schneiden, Pr. Löwenberg 1877.

Wölffing.