- Diskriminante
Diskriminante.
a) Ist eine binäre Form n. Ordnung f(x, y) (s. Form) oder eine durch Nullsetzen derselben entstehende Gleichung f(x, y) = 0 gegeben, so heißt Diskriminante D diejenige Koeffizientenverbindung derselben, deren Verschwinden anzeigt, daß die algebraische Gleichung zwei gleiche Wurzeln besitzt. D ist vom Grad 2(n – 1) in den Koeffizienten a0 a1 ... an von f; sie ist eine Invariante. Man erhält D als Resultante von ∂f/∂x = 0 und ∂f/∂y = 0. Sind ferner α1 α2 ... αn die Wurzeln der algebraischen Gleichung, so ist
D = (a2 – α1)2 (α3 – α1)2 ... (αn – α1)2. (α3 – α2)2 ... (αn – α2)2 ..... αn – αn – 1)2,
also gleich dem Produkt der Quadrate der Wurzeldifferenzen. Die Diskriminante von f · φ ist D von f mal D von φ mal Quadrat der Resultante von f und φ.
Für f = dx2 + 2bxy + cy2 ist D = ac – b2.
Für f = ax3 + 3bx2y + 3cxy2 + dy3 ist D = 4 (ac – b2) (bd – c2) – (ad – bc)2.
Für f = ax4 + 4bx3y, + 5cx2y2 + 4dxy3 + ey4 ist
D = (ae – 4bd + 3c2)3 – 27 (ace + 2bcd – ad2 – b2e – c3)2.
b) Ist eine ternäre Form n Ordnung f (x, y, z) oder eine durch Nullsetzen derselben entstehende Gleichung einer ebenen Kurve gegeben, so heißt Diskriminante D die Koeffizientenverbindung, deren Verschwinden die Existenz eines Doppelpunktes (s. Punkte) der betreffenden
Kurve anzeigt. Sie ist Resultante von ∂f/∂x = 0, ∂f/∂y = 0, ∂f/∂z = 0, und vom Grad 3 (n – 2)2.
Die Diskriminante der Kegelabschnittgleichung ax2 + 2bxy + cy2 + 2dxz + 2eyz + fz2 =0 ist
sie verschwindet, wenn der Kegelschnitt in ein Geradenpaar zerfällt.
c) Bei quaternären Formen bezw. Flächengleichungen zeigt das Verschwinden der Diskriminante die Existenz eines Knotenpunktes (s. Punkte) an u.s.w.
Literatur: [1] Baltzer, Theorie und Anwendung der Determinanten, 5. Aufl., Leipzig 1881, S. 135. – [2] Salmon, G., Vorlesungen über die Algebra der linearen Transformationen, deutsch von W. Fiedler, 2. Aufl., Leipzig 1877, 11. und 16. Vorles. – [3] Gordan, P., Vorlesungen über Invariantentheorie, herausgeg. von Kerschensteiner, Bd. 1, § 14. – [4] Faà di Bruno, Einleitung in die Theorie der binären Formen, deutsch von Walter, Leipzig 1881, § 7. – [5] Hagen, J., Synopsis der höheren Mathematik, Bd. 1, Berlin 1891, S. 197 ff.
Wölffing.
http://www.zeno.org/Lueger-1904.
