Funktionaldeterminante

Funktionaldeterminante (Jacobische Determinante) eines Systems von n Funktionen (Formen) y₁ y₂ ... y_n in n Veränderlichen x₁ x₂ ... x_n ist die Determinante der ersten partiellen Differentialquotienten:

Die Funktionaldeterminante ändert ihr Zeichen, wenn man zwei der y oder zwei der x vertauscht. Sind ferner z₁ z₂ ... z_n Funktionen der y und also auch der x, so gilt der Produktsatz:

Besitzen y₁ = 0, y₂ = 0., y_n = 0 ein gemeinsames Wertesystem x₁ x₂ ... x_n, so befriedigt dieses auch J = 0, und es ist

Sind aber die Ordnungen sämtlicher y in den x gleich, so ist für das gemeinsame Wertesystem

das Wertesystem befriedigt also J = 0 doppelt zählend. Besteht zwischen den y eine Relation, so verschwindet die Funktionaldeterminante identisch.

Zu den Funktionaldeterminanten gehört die Resultante von n linearen Formen. Als ungerade Ueberschiebung ist die Funktionaldeterminante eine Invariante und sogar eine Kombinante (s. Invariantentheorie). Das Quadrat einer Funktionaldeterminante, ebenso das Produkt zweier solchen, endlich eine Funktionaldeterminante aus einer Funktionaldeterminante und einer Form kann durch andre Bildungen rational ausgedrückt werden.

Die Funktionaldeterminante von drei ternären resp. vier quaternären Formen liefert, gleich Null gesetzt, die Gleichung der Jacobischen Kurve resp. Fläche.

Literatur: [1] Baltzer, Theorie u. Anwendung der Determinanten, 5. Aufl., Leipzig 1881, § 12. – [2] Gordan, Vorlesungen über Invariantentheorie, herausg. von Kerschensteiner, Leipzig 1885, Bd. 1, 9. – [3] Hagen, Synopsis d. höheren Mathematik, Berlin 1891, Bd. 1, S. 189 ff. – [4] Jacobi, C.G. J., Ueber die Funktionaldeterminanten, deutsch von Staeckel, Leipzig 1896.

Wölffing.