- Harmonisch
Harmonisch heißen vier Punkte ABCD auf einer Geraden (s. die Figur), wenn das Doppelverhältnis (s.d.) derselben den Wert 1 hat.
Dann besteht die Beziehung AB · BD = AD · BC. Der Punkt C teilt die Strecke AB innerlich in demselben Verhältnis wie äußerlich der Punkt D (oder umgekehrt). A, B und C, D heißen je zwei zugeordnete Punkte; dieselben trennen sich gegenseitig. Man kann zwei zugeordnete Punkte vertauschen, ohne daß das Doppelverhältnis seinen Wert 1 verändert. Vier Strahlen PA, PB, PC, PD, welche die vier Punkte aus einem Punkt projizieren, heißen ebenfalls harmonisch; ihr Doppelsinusverhältnis sin APC/sin BPC : sin APD/sin BPD hat den Wert. Die vier harmonischen Strahlen werden wieder von jeder Geraden in vier harmonischen Punkten A' B' C' D' geschnitten u.s.w. Auch bei andern[779] geometrischen Gebilden kommt die harmonische Lage vor, z.B. bei vier Punkten eines Kegelschnitts, bei vier Ebenen u.s.w. Aequianharmonisch heißen vier Punkte, deren Doppel Verhältnis α eine imaginäre dritte Wurzel aus 1 ist, so daß α2 α + 1 = 0.
Wölffing.
http://www.zeno.org/Lueger-1904.