Gruppentheorie

Gruppentheorie. Als Gruppe wird ein Komplex mathematischer Operationen bezeichnet, wenn er so beschaffen ist, daß die Aufeinanderfolge je zweier dieser Operationen immer durch eine ebenfalls dem Komplex angehörige dritte Operation ersetzt werden kann.

Diskontinuierliche Gruppen sind solche, bei welchen je zwei Operationen endlich verschieden sind. Die endlichen diskontinuierlichen Gruppen enthalten eine endliche Anzahl von Operationen; dieselben können als Vertauschungen (Permutationen) von irgend welchen Elementen x₁ x₂ ... x_r in einer Funktion derselben φ (x₁ x₂ ... x_r) aufgefaßt werden. Diese Permutationsgruppen heißen gewöhnlich Substitutionsgruppen, indem man die Permutation als Folge einer Substitution ansteht. In jeder Gruppe ist die identische Substitution enthalten. Die Zahl n der zu vertauschenden Elemente heißt Grad, die Zahl r der zur Gruppe gehörigen Substitutionen Ordnung der Substitution. Zu jeder Gruppe gehört eine Funktion der Elemente, welche bei jeder Substitution der Gruppe ungeändert bleibt und umgekehrt. In diesem Sinne gehört zu jeder symmetrischen Funktion der Elemente die aus allen Permutationen derselben bestehende symmetrische Gruppe; zu jeder alternierenden Funktion, d.h. zur Quadratwurzel aus irgend einer symmetrischen Funktion, gehört die alternierende Gruppe, aus der Hälfte aller möglichen [665] Permutationen bestehend. Zur Funktion x₁x₂ + x₃x₄ gehört die Gruppe

sie ist vom Grad 4 und der Ordnung 8. Eine Gruppe heißt transitiv, wenn man vermittelst ihrer Substitutionen an die Stelle irgend eines Elements jedes beliebige andre bringen kann, z.B. die Gruppe

andernfalls intransitiv, z.B. die Gruppe

Eine transitive Gruppe heißt imprimitiv, wenn die Elemente derart in Systeme von gleichviel Elementen zerlegt werden können, daß alle Substitutionen der Gruppe die Elemente eines Systems entweder nur unter sich vertauschen oder alle durch diejenigen eines einzigen andern Systems ersetzen; andernfalls heißt sie primitiv. Die Gruppe G₁ ist imprimitiv mit den Systemen x₁ x₂ und x₃ x₄. Die Substitutionen, welche nur die Elemente der Systeme unter sich vertauschen, bilden eine Untergruppe der Gruppe (z.B. die vier ersten Substitutionen von G₁ bilden eine Untergruppe). Ist 1 (d.h. die identische Substitution) s₁ s₂ ... eine Gruppe, a eine nicht zu ihr gehörige Substitution, so bilden die Substitutionen 1; σ^–1 s₁ σ; σ^–1 s₂ σ; ... eine zur ersteren ähnliche Gruppe und heißen die aus derselben durch Transformation mittels σ entstandenen Substitutionen. Bleibt eine Substitution s ungeändert bei Transformation mittels σ, so ist s σ = σ s, die Substitutionen heißen vertauschbar. Zwei Gruppen G_r und G_s heißen vertauschbar, wenn jede Substitution von G_r bei Transformation mittels einer Substitution von G_s wieder in eine Substitution von G_r übergeht und umgekehrt. Eine Untergruppe, die mit der Hauptgruppe vertauschbar ist, heißt ausgezeichnete Untergruppe; eine Gruppe, welche eine solche besitzt, heißt zusammengesetzt, sonst einfach, z.B. ist die obengenannte Gruppe G₂ eine ausgezeichnete Untergruppe der symmetrischen Gruppe. Sind in zwei Gruppen G_r und G_s jeder Substitution von G_r λ solche von G_s, jeder von G_s eine von G_r derart zugeordnet, daß jedem Produkt zweier Substitutionen von G_r das Produkt der entsprechenden in G_s zugeordnet ist, so heißen G_r und G_s isomorph, und zwar holoedrisch oder meroedrisch, je nachdem λ 1, z.B. sind

und

meroedrisch isomorph. Die Substitutionen von G_s, welche einer bestimmten Substitution von G_r zugeordnet sind, bilden eine ausgezeichnete Untergruppe von G_s.

Die Substitutionsgruppen spielen in der Theorie der Gleichungen eine Hauptrolle (namentlich sind sie wichtig für die algebraische Auflösbarkeit derselben). Unendliche diskontinuierliche Gruppen kommen in der Funktionentheorie vor; Beispiele sind die Perioden der goniometrischen und elliptischen Funktionen; ferner gehören hierher die automorphen (Fuchsschen) Funktionen, welche bei gewissen linearen Substitutionen des Arguments ihren Wert nicht ändern (s. [10]).

Kontinuierliche Gruppen (Transformationsgruppen) beziehen sich auf Operationen (Transformationen) mit unendlich vielen Elementen. Es ist in jeder derselben eine infinitesimale Transformation enthalten, durch welche jedes Element in ein unendlich benachbartes übergeführt wird. Als Elemente betrachtet man gewöhnlich Punkte in einem n-fach ausgedehnten Raum, welche durch die Transformationen der Gruppe in andre Punkte übergeführt werden. Bei den endlichen kontinuierlichen Gruppen sind die neuen Koordinaten der Punkte bestimmte Funktionen der alten Koordinaten und einer Anzahl von Parametern. Eine Gruppe mit r Parametern heißt r-gliedrig. Im folgenden werden Gruppen mit zwei Veränderlichen (ebene Gruppen) näher besprochen. Ist x₁ = x + ξ (x, y) d t; y₁ = y + η (x, y) d t die infinitesimale Transformation einer eingliedrigen Gruppe mit dem Parameter t und setzt man

so sind

die endlichen Gleichungen der Gruppe. Die Transformationen der Gruppe führen jeden Punkt (x, y) in die Punkte x₁ y₁ einer Kurve über, deren Gleichung (in x₁ y₁) man durch Elimination von t aus den endlichen Gleichungen erhält, wenn x und y bestimmte Werte haben. Es entsteht hierdurch ein System von unendlich vielen Kurven (Bahnkurven), die bei allen Transformationen der Gruppe unverändert bleiben. Außer diesen Bahnkurven gibt es noch andre invariante Kurvensysteme derart, daß jede Kurve des Systems durch irgendeine Transformation der Gruppe in eine andre Systemkurve übergeführt wird. Ist M d x + N d y = 0 die Differentialgleichung eines solchen Kurvensystems, so gestattet diese die infinitesimale Transformation X(f) und dann ist 1/M η – N ξ der integrierende Faktor, der die Differentialgleichung zu einer exakten macht (s. Differentialgleichungen I. a. δ und ζ). Eine zweigliedrige Gruppe x₁ = f (x₁ y₁ a₁ a₂); y₁ = φ (x₁ y₁ a₁ a₂) ist transitiv, wenn jeder Punkt in jede Lage durch irgend eine Transformation übergeführt werden kann, wenn also die beiden Gleichungen nach den Parametern aufgelöst werden können; z.B. die Gruppe G : x₁ = a₁ (x cos α₂ – y sin α₂); y₁ = a₁ (x sin α₂ + y cos α₂). Sie ist intransitiv, wenn beide Parameter eliminiert werden können, z.B. x₁ = x + a₁ + a₂; y₁ = e^a1 e^{y + a2}. In letzterem Falle besitzt auch eine zweigliedrige Gruppe Bahnkurven. Läßt sich bei einer transitiven Gruppe ein Kurvensystem angeben derart, daß bei jeder Transformation alle Punkte einer Systemkurve entweder nur unter sich[666] vertauscht oder alle in Punkte einer andern Systemkurve übergeführt werden, so heißt die Gruppe imprimitiv (z.B. die Gruppe G, für welche x² + y² = const. und x/y = const. solche Kurvensysteme sind), andernfalls primitiv. Besondere Gruppen sind diejenigen der Translationen, der Drehungen, die affine Gruppe. Ueber Transformationsgruppen im Raum s. [7], Abt. 3; über Gruppen mit »Veränderlichen« s. [6], 1. Abschn.; über Gruppen von Berührungstransformationen s. [6], 2. Abschn. Bei unendlichen kontinuierlichen Gruppen kommen in den Ausdrücken der neuen Veränderlichen durch die alten willkürliche Funktionen vor.

Literatur: Von den angeführten Werken beziehen sich [1]–[3] auf Substitutionsgruppen, [4], [5] und [10] auf automorphe Funktionen, [6]–[8] auf endliche Transformationsgruppen (wobei [6] für Vorgerücktere bestimmt ist), [9] auf unendliche kontinuierliche Gruppen. – [1] Netto, E., Substitutionentheorie und ihre Anwendungen auf die Algebra, Leipzig 1882. – [2] Serret, Handbuch der höheren Algebra, deutsch von Wertheim, 2. Aufl., II, 4. Abt., Leipzig 1879. – [3] Jordan, Traité des substitutions et des équations algébriques, Paris 1870. – [4] Forsyth, A.R., Theory of functions of a complex variable, Kap. 21–22, Cambridge 1893. – [5] Biermann, O., Theorie der analytischen Funktionen, Kap. 7, 2. Abschn., Leipzig 1887. – [6] Lie, S., Theorie der Transformationsgruppen, I–III, Leipzig 1888–93. – [7] Ders., Vorlesungen über Differentialgleichungen mit bekannten infinitesimalen Transformationen, herausg. von Scheffers, Leipzig 1891. – [8] Ders., Vorlesungen über kontinuierliche Gruppen, herausg. von Scheffers, Leipzig 1893. – [9] Ders., Untersuchungen über unendliche kontinuierl. Gruppen, Christiania 1895. – [10] Fricke, A., und Klein, F., Vorlesungen über die Theorie der automorphen Funktionen, I–V, Leipzig 1897–1901.

Wölffing.