Koordinaten [1]

Koordinaten, eindeutige, voneinander unabhängige, in genügender Zahl vorhandene Bestimmungsstücke von geometrischen Grundgebilden (Punkten, Geraden, Ebenen); sie dienen dazu, die Lage derselben gegenüber von andern Grundgebilden, welche das Koordinatensystem bilden, festzulegen. Die übrigen geometrischen Gebilde (Punktsysteme, Kurven, Flächen, Strahlensysteme) werden alsdann ihrer Natur und ihrer Lage nach durch Gleichungen angegeben, welchen die Koordinaten ihrer Punkte (Geraden, Ebenen) genügen müssen. Die Wahl des Koordinatensystems und der Koordinaten hängt von dem Bedürfnis des Einzelfalls ab.

Die gebräuchlichsten Arten von Koordinaten sind folgende:

A. Koordinaten in der Geraden.

1. Gewöhnliche Koordinaten: Abstand x = O P eines Punkts P von einem festen Punkt O.

2. Verhältniskoordinaten x₁ : x₂ = O P : U P das Abstandsverhältnis des Punktes P von zwei festen Punkten O und U. Die Koordinaten x₁ und x₂ werden auch als homogene Koordinaten bezeichnet.

3. Projektivische Koordinaten: Doppelverhältnis: x₁ : x₂ = O P/U P : O E/U E das der Punkt mit den drei festen Punkten O, U, E bildet (oder auch das Verhältnis O P : U P multipliziert mit einer zum Koordinatensystem gehörigen festen Konstante). Aenderung des projektivischen Koordinatensystems vermittelst Ersetzung von x₁ und x₂ durch lineare Funktionen derselben (lineare Transformation).

B. Koordinaten in der Ebene,

a) Punktkoordinaten.

α) Geradlinige Koordinaten (eine Gleichung ersten Grades stellt eine Gerade dar).

1. Rechtwinklige cartesische Koordinaten (das gebräuchlichste System). Ein Punkt P (Fig. 1) bezogen auf zwei rechtwinklige Achsen, die x-Achse OX oder y = 0 und die y-Achse OY oder x = 0, die Geh im Ursprung O schneiden und bestimmt durch die Abszisse x = O Q (wenn Q Fußpunkt des Lots von P auf O X) und die Ordinate y = P Q. Der Uebergang von einem rechtwinkligen System (x, y) zu einem ebensolchen (x', y'), dessen Ursprung der Punkt

ist und dessen Achsen gegen die des ersteren um den Winkel φ gedreht sind, erfolgt durch die Formeln x = a + x' cos φ – y' sin φ; y = b + x' sin φ + y' cos φ.

2. Schiefwinklige cartesische Koordinaten. Punkt P bezogen auf zwei Achsen O X und O Y, die den Winkel γ bilden und bestimmt durch Abszisse x = O Q und Ordinate y = P Q (wo Q Schnitt von O X mit der Parallelen durch P zu O Y). Uebergang vom[618] schiefwinkligen System (x, y) zu einem andern x', y' mit dem Winkel γ', wenn die x-Achsen beider den Winkel φ bilden und der Ursprung des letzteren im Punkt

liegt:

3. Homogene Koordinaten. Koordinatensystem wie bei 1. oder 2. Punkt P bestimmt durch das Verhältnis x : y : 1.

4. Trimetrische Koordinaten (Dreilinienkoordinaten). Punkt P bestimmt durch das Verhältnis x₁ : x₂ : x₃ seiner Abstände von drei gegebenen Geraden, welche das Koordinatendreiseit bilden.

5. Projektivische Koordinaten. Punkt P bestimmt durch das Verhältnis der drei Doppelverhältnisse, welche die Strahlen von je einem der das Koordinatendreieck bildenden Punkte A₁ A₂ A₃ nach den beiden andern, nach P und nach dem festen Punkt E (Einheitspunkt) bilden. Aenderung des Koordinatensystems erfolgt durch lineare Transformation: Die projektivischen Koordinaten können auch aufgefaßt werden als Verhältnis der Abstände des Punkts P von drei festen Geraden, diese Abstände multipliziert mit drei festen Konstanten, deren Verhältnis zum Koordinatensystem gehört.

6. Baryzentrische Koordinaten. Punkt P bestimmt durch die Gewichte p, q, r, welche den drei Eckpunkten A₁, A₂, A₃ des Koordinatendreiecks zugeschrieben werden müssen, damit P der Schwerpunkt dieses Dreiecks wird [9].

7. Vierlinienkoordinaten. Koordinaten von P sind das Verhältnis seiner Abstände von vier festen Geraden, wobei zwischen diesen Abständen die identische Relation a x₁ + b x₂ + c x₃ + dx₄ = 0 besteht (a, b, c, d sind von der Lage von P unabhängig).

β) Krummlinige Koordinaten (eine lineare Gleichung stellt keine Gerade dar).

1. Polarkoordinaten [10]. Punkt P bestimmt durch den Radiusvektor r (d.h. seinen Abstand von einem festen Punkt O dem Pol) und den Polarwinkel φ (den Winkel, den dieser Radius mit einer festen Geraden OX durch den Pol, der Polarachse, macht). Fällt beim Polarsystem (r, φ) und beim rechtwinkligen System (x, y) der Pol mit dem Ursprung, die Polarachse mit der x-Achse zusammen (Fig. 1), so ist x = r cos φ, y = r sin φ.

2. Bipolarkoordinaten. Ein Punkt P bestimmt durch seine Abstände von zwei festen Punkten O und O'.

3. Biangularkoordinaten. Ein Punkt P bestimmt durch die Winkel, welche die Verbindungslinie der festen Punkte O und O' mit den Radien OP und O'P macht.

4. Elliptische Koordinaten eines Punktes P: der Parameter λ₁ der Ellipse und der Parameter λ₂ der Hyperbel, welche der konfokalen Kegelschnittschar

angehören und durch P hindurchgehen [4].

5. Hyperbolische Koordinaten von P: die Parameter λ₁ und λ₂ der Hyperbeln x² – y² = λ₁ und 2x y = λ₂, welche durch P hindurchgehen.

6. Parabolische Koordinaten von P: die Parameter λ₁ und λ₂ der beiden Parabeln, welche der konfokalen Schar y² = 2λ x + λ² angehören, die durch P hindurchgehen [13].

7. Lemniskatische Koordinaten von P: die Parameter u und v der Cassinischen Kurve (x² + y² + c²)² – 4c²x² = c⁴ e^–2u und der gleichseitigen Hyperbel:

(x² – y² – c²) – 2 cot v · x y = 0,

die durch P hindurchgehen.

b) Linienkoordinaten (Koordinaten der geraden Linie) [8].

α) Geradlinige Koordinaten (eine Gleichung ersten Grads stellt einen Punkt dar).

1. Gewöhnliche Linienkoordinaten u, v. Eine Gerade g bestimmt durch die negativen reziproken Werte der Stücke, welche sie von den rechtwinkligen Achsen abschneidet.

2. Schweringsche (d'Ocagnesche) Linienkoordinaten. Gegeben zwei Parallele a und a', auf jeder ein Punkt O und O'; sind Q und Q' die Schnittpunkte einer Geraden g mit a und a', so sind O Q und O' Q' ihre Koordinaten (O O' steht senkrecht oder schief zu den Parallelen) [6], [7].

3. Projektivische Linienkoordinaten. Gerade g bestimmt durch das Verhältnis der drei Doppelverhältnisse, welche auf je einer der drei Geraden a₁, a₂, a₃ die Schnittpunkte der beiden andern, der Geraden g und der festen Einheitsgeraden e bilden.

β) Krummlinige Koordinaten (eine Gleichung ersten Grads stellt keinen Punkt dar).

1. Weinmeistersche Polarkoordinaten: Gerade g gegeben durch ihren Abstand von einem festen Punkt, dem Pol und dem Winkel, welchen das Lot vom Pol auf g mit einer festen Achse bildet.

2. d'Ocagnesche Axialkoordinaten: Gerade gegeben durch ihren Abstand vom Pol und den Winkel, welchen sie mit der Achse bildet.

3. Balitrandsche Polarlinienkoordinaten sind die Größen

und φ = arc tg v/u, wenn u und v. die gewöhnlichen Linienkoordinaten.

C. Koordinaten auf der Kugelfläche.

1. Punkt gegeben durch Breite und Länge, d.h. durch seinen sphärischen Abstand von einem festen Großkreis (Aequator) und den Winkel seines Meridians mit dem Hauptmeridian. An Stelle der Breite kann auch die Poldistanz treten.

[619] 2. Punkt gegeben durch das Verhältnis x : y : z seiner räumlichen cartesischen Koordinaten (Möbius).

3. Punkt gegeben durch die Winkel α, β, γ, welche sein Radius mit drei rechtwinkligen Achsen bildet; dabei ist cos² α + cos² β + cos² γ = 1.

D. Koordinaten im Raum,

a) Punktkoordinaten.

α) Geradlinige Koordinaten (eine Gleichung ersten Grades stellt eine Ebene dar).

1. Rechtwinklige cartesische Koordinaten. Punkt P gegeben durch seine Abstände x, y, z von drei festen rechtwinkligen Koordinatenebenen, die sich im Ursprung 0 schneiden (Fig. 2). Die Schnittlinien der Koordinatenebenen heißen Koordinatenachsen. Uebergang vom rechtwinkligen System (x y z) zum rechtwinkligen System (x' y' z'), wobei

α₁ β₁ γ₁ die Winkel der x'-Achse mit der x-y-z-Achse,

α₂ β₂ γ₂ die Winkel der y'-Achse mit der x-y-z-Achse,

α₃ β₃ γ₃ die Winkel der z'-Achse mit der x-y-z-Achse,

erfolgt durch die Formeln:

x = x' cos α₁ + y' cos α₂ + z' cos α₃;

y = x' cos β₁ + y' cos β₂ + z' cos β₃

z = x' cos γ₁ + y' cos γ₂ + z' cos γ₃,

wobei die Relationen bestehen:

cos² α₁ + cos² β₁ + cos² γ₁ = 1; cos α₂ cos α₃ + cos β₂ cos β₃ + cos γ₂ cos γ₃ = 0

cos² α₂ + cos² β₂ + cos² γ₂ = 1; cos α₃ cos α₁ + cos β₃ cos β₁ + cos γ₃ cos γ₁ = 0

cos² α₃ + cos² β₃ + cos² γ₃ = 1; cos α₁ cos α₂ + cos β₁ cos β₂ + cos γ₁ cos γ₂ = 0.

2. Tetraedrische Koordinaten. Punkt P gegeben durch das Verhältnis seiner Abstände von den vier Ebenen eines festen Tetraeders.

3. Projektivische Koordinaten. Punkt P gegeben durch das Verhältnis dieser Abstände, jeder multipliziert mit einer zum Koordinatensystem gehörigen festen Konstante. Aenderung des Systems erfolgt durch lineare Transformation.

β) Krummlinige Koordinaten (eine Gleichung ersten Grads stellt keine Ebene dar) [14], [15].

1. Kugelkoordinaten (reines Polarsystem). Punkt P gegeben durch seinen Abstand Q von einem Pol O, dem Winkel ϑ, den O P mit einer festen Polarebene durch den Pol bildet, und den Winkel y, den die Projektion von O P auf die Polarebene mit einer festen Polarachse in dieser Ebene bildet. Ist (x y z) ein rechtwinkliges System, dessen Ursprung mit dem Pol, die; x y-Ebene mit der Polarebene, die x-Achse mit der Polarachse zusammenfällt (Fig. 2), so ist x = ρ cos ϑ cos φ; y = ρ cos ϑ sin φ; z = ρ sin ϑ.

2. Zylinderkoordinaten (gemischtes Polarsystem). Punkt P gegeben durch seinen Abstand Z von einer festen Ebene und die ebenen Polarkoordinaten r und φ seiner Projektion auf dieser Ebene (Fig. 2).

3. Elliptische Koordinaten (Lamésche Koordinaten). Punkt P gegeben durch die Parameter λ₁ λ₂ λ₃ des durch ihn hindurchgehenden Ellipsoids, einmanteligen und zweimanteligen Hyperboloids der konfokalen Schar

4. Hyperbolische Koordinaten. Punkt P gegeben durch die Parameter λ₁ λ₂ λ₃ der durch ihn gehenden Flächen x² + y² – z² = λ₁; (x² + y²) z² = λ₂²; y = x tg λ₃.

5. Parabolische Koordinaten. Punkt P gegeben durch die Parameter der drei durch ihn gehenden Paraboloide der konfokalen Schar

b) Ebenenkoordinaten.

1. Gewöhnliche Ebenenkoordinaten. Ebene ε bestimmt durch die negativen reziproken Werte der Stücke, die sie von drei (rechtwinkligen oder schiefwinkligen) Achsen abschneiden.

2. Projektivische Ebenenkoordinaten. Ebene ε bestimmt durch das Verhältnis ihrer Abstände von vier festen Punkten multipliziert mit festen Konstanten.

c) Linienkoordinaten.

1. Plückersche Linienkoordinaten. Gerade g bestimmt durch die Koordinaten r, s, ρ, σ, wenn x = r z + ρ; y = s z + σ die Gleichung zweier Ebenen durch g sind. Hierzu kommt als fünfte Linienkoordinate η = r σ – s ρ [11].

2. Homogene (Graßmannsche) Linienkoordinaten. Gerade g bestimmt durch die Determinanten der Matrix

wenn A x + B y + C z + D = 0 und A' x + B' y + C' z + D' = 0 zwei Ebenen durch g sind. Richtungskoordinaten sind:

Stellungskoordinaten:

Dabei besteht zwischen den sechs homogenen Koordinaten die Relation: p π + q κ + r ρ = 0 [12].

Natürliche Koordinaten heißen solche, welche die geometrischen Gebilde nur ihrer Natur, nicht ihrer Lage nach angeben und sich auf kein Koordinatensystem beziehen [17]. Beispiele: Koordinaten von Lacroix (Coordonnés intrinsèques): ebene Kurve gegeben durch Beziehung zwischen Bogenlänge und Krümmungsradius [17]. Koordinaten von Gergonne: ebene Kurve gegeben durch Beziehung zwischen den Krümmungsradien der Kurve und ihrer Evolute [16]. Hoppesche Koordinaten: Raumkurve gegeben durch die Beziehung zwischen Krümmungs- und[620] Torsionsradius. Eine vermittelnde Stellung zwischen beiden Prinzipien nimmt das Koordinatensystem von Sacchi ein: eine ebene Kurve wird bestimmt durch die Beziehung zwischen dem Lot p von einem festen Punkt O auf eine Tangente t und dem Radiusvektor r, d.h. der Entfernung von O vom Berührungspunkt der Tangente t [5].

Literatur: [1] Salmon, G., Analytische Geometrie der Kegelschnitte, deutsch von Fiedler, 5. Aufl., Leipzig 1887, 1. Teil, 4. Kap. – [2] Ders., Analytische Geometrie des Raumes, deutsch von Fiedler, 3. Aufl., Leipzig 1879, 1. Teil, 1. und 3. Kap. – [3] Baltzer, H.R., Analytische Geometrie, Leipzig 1882. – [4] Lamé, Leçons sur les coordonnées curvilignes et leurs diverses applications, Paris 1859. – [5] Sacchi, Sulla geometria analitica delle linee piane, Pavia 1854. – [6] Schwering, Theorie und Anwendung der Linienkoordinaten in der analytischen Geometrie der Ebene, Leipzig 1884. – [7] d'Ocagne, Coordonnées parallèles et axiales, Paris 1885. – [8] Papelier, Leçons sur les coordonnées tangentielles, 1 und 2, Paris 1894/95. – [9] Möbius, Der baryzentrische Kalkül, Leipzig 1827. – [10] Grunert, Analytische Geometrie der Ebene und des Raumes für polare Koordinatensysteme, Greifswald 1857. – [11] Plücker, Neue Geometrie des Raumes, gegründet auf die Betrachtung der geraden Linie als Raumelement, herausgegeben von Klein, Leipzig 1868/69. – [12] Graßmann, Die lineare Ausdehnungslehre, Leipzig 1844. – [13] Baer, Parabolische Koordinaten, Progr., Frankfurt a. O. 1888. – [14] Aoust, Théorie des coordonnés curvilignes quelconques I–III, Paris 1864/68. – [15] Darboux, Leçons sur les systèmes orthogonaux et les coordonnées curvilignes I, Paris 1898. – [16] Eggers, H., Ueber die Bestimmung von Kurven durch ein System zwischen dem Krümmungsradius und dem ihrer Evolute, Norden 1882. – [17] Cesàro, E., Vorlesungen über natürliche Geometrie, deutsch von Kowalewski, Leipzig 1901.

Wölffing.

Fig. 1.

Fig. 2.