Harmonische Teilung

Harmonische Teilung. Am vollständigen Viereck tritt die harmonische Teilung (s. Harmonisch) in mannigfaltiger Weise hervor. So bilden stets zwei Ecken, z.B. a und b, mit den auf ihrer Verbindungslinie liegenden Durchschnittspunkten c und d vier harmonische Punkte. Aus dieser Eigenschaft folgt eine einfache lineare Konstruktion des vierten harmonischen Punktes d zu drei gegebenen Punkten a, b und c.

Man zieht durch c eine beliebige Gerade, wählt auf ihr die Punkte α und β willkürlich und verbindet βa, βb und αa, αb. Die Schnittpunkte a₁ und b₁ von αb, βa bezw. αa, βb liefern die Gerade a₁b₁ welche auf der verlängerten Linie ab den zu drei Punkten a, b, c gehörigen vierten harmonischen Punkt d ausschneidet. Zwei Punkte, wie a und b bezw. c und d, welche je die durch die beiden andern Punkte begrenzte Strecke im gleichen Verhältnis teilen, heißen ein konjugiertes Punktpaar. – Die harmonische Teilung geht durch Projektion nicht verloren, d.h. vier harmonisch: Punkte auf eine Gerade oder Ebene projiziert, geben wieder vier harmonische Punkte.

Vonderlinn.