Funktionentheorie

Funktionentheorie, die Lehre von den Funktionen. Insbesondere versteht man darunter diejenige mehr theoretische Betrachtungsweise, bei der die Funktionen durch Bedingungen, denen sie genügen müssen (z.B. Funktionalgleichungen, Unstetigkeitsbedingungen, unendliche Vieldeutigkeit und Periodizität) definiert und alsdann erst ihre Existenz bewiesen und ihre Eigenschaften entwickelt werden. Im Gegensatz hierzu werden in der Analysis und in andern Zweigen der Mathematik die Funktionen mehr von praktischen Gesichtspunkten betrachtet und auf die numerischen Werte derselben der Hauptnachdruck gelegt.

Die Funktionentheorie hat es teils nur mit reellen Funktionen zu tun, teils mit Funktionen komplexer Veränderlichen. Bei der Betrachtung der letzteren unterscheidet man zwei Richtungen: die Cauchy-Riemannsche, die im Art. Funktionen hauptsächlich auseinandergesetzt ist, und die Weierstraßsche, bei der die Funktionen durch Potenzreihen, sogenannte Funktionselemente, definiert werden. Durch Fortsetzung dieser Reihen übersieht man den Gesamtverlauf der Funktionen; insbesondere wird auf die Entwicklung der Funktionen in unendliche Produkte vermittelst ihrer Null- und Unendlichkeitsstellen Wert gelegt.

Literatur: Von den angeführten Werken behandelt [1] in sehr abstrakter Weise die reellen Funktionen, letztere auch [11] und [17], die übrigen die Funktionen komplexer Veränderlichen. Zum Studium der letzteren ist am meisten [2] zu empfehlen, in dem beide Richtungen zur Geltung kommen und das auch viele Uebungsbeispiele enthält. [3] ist ein gutes Lehrbuch für die Riemannsche Richtung; dieselbe findet sich auch in [4] und in sehr breiter Darstellung in [5]. Die Weierstraßsche Richtung vertritt [6], ist aber ziemlich schwer verständlich; ferner [7]. In [8] werden die Grundlagen und Grundbegriffe der Theorie vom philosophischen Standpunkt aus untersucht. – [1] Dini, U., Grundlagen für eine Theorie der Funktionen einer veränderlichen reellen Größe, deutsch von Lüroth u. Schepp, Leipzig 1892. – [2] Forsyth, Treatise on the theory of functions of a complex variable, 2. Aufl., Cambridge 1900. – [3] Durège, Elemente der Theorie der Funktionen einer komplexen veränderlichen Größe, 4. Aufl., Leipzig 1893. – [4] Königsberger, Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Funktionen I und II, Leipzig 1874, 1.–10. Vorlesung. – [5] Neumann, Vorlesungen über Riemanns Theorie der Abelschen Integrale, 2. Aufl., Leipzig 1884. – [6] Biermann, O., Theorie der analytischen Funktionen, Leipzig 1887. – [7] Thomae, Abriß einer Theorie der analytischen Funktionen und der Thetafunktionen einer komplexen Veränderlichen, 3. Aufl., Halle 1890. – [8] Dubois-Reymond, Die allgemeine Funktionentheorie I, Tübingen 1882. – [9] Burkhardt, H., Einführung in die Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen I–II, Leipzig 1897–99. – [10] Petersen, Vorlesungen über Funktionentheorie, Kopenhagen 1898. – [11] Grelle, Elemente der Theorie der von reellen Veränderlichen abhängigen Funktionen, 2. Aufl., Leipzig 1885. – [12] Borel, Leçons sur la théorie des fonctions I–II, Paris 1898–1900. – [13] Fouet, Leçons élémentaires de la théorie des fonctions analytiques I, Paris 1902. – [14] Tannery, J., Introduction à la théorie des fonctions d'une variable, Paris 1886. – [15] Stolz u. Gmeiner, Einleitung in die Funktionentheorie, 2. Aufl., Leipzig 1904–05. – [16] Vivanti, Theorie der eindeutigen analytischen Funktionen, deutsch von Gutzmer, Leipzig 1905. – [17] Borel, Leçons sur les fonctions de variables reelles et les développements en séries de polynomes, Paris 1905. – [18] Borel, Leçons sur les fonctions entières, Paris 1900.

Wölffing.