Kartenprojektion

Kartenprojektion, die Abbildung des Liniensystems der Meridiane und Parallelkreise, welche die mathematische Erdoberfläche überziehen, auf einer ebenen Zeichenfläche, dem Kartenblatte. Da eine gekrümmte Fläche sich nicht ohne Verzerrung in einer Ebene ausbreiten läßt, ist auch die Verebnung des geographischen Koordinatennetzes der Erdoberfläche, die mathematisch als Kugel- oder Ellipsoidfläche gedacht wird, ohne Verzerrung nicht möglich. Daher ist die Aufgabe der Kartenprojektion dahin zu erweitern, für jeden einzelnen Fall das günstigste Abbildungsverfahren auszuwählen.

1. Die Verzerrung. Zu einer allgemeinen Charakteristik der unvermeidlichen Verzerrungen führt der Vergleich einer beliebigen Figur auf der Kugel mit ihrem ebenen Abbilde. Es zeigen sich dabei die Verzerrungen der Linienlängen, der Winkel und der Flächen. Eine treue Abbildung der Länge ist niemals für sämtliche Linien eines Kartenblattes zu erzielen, sondern nur für einzelne Linien oder für ein bestimmtes Liniensystem, z.B. für einen Meridian oder für das System der Meridiane, für die Abstände vom Kartenmittelpunkte oder von einer Kartenmittellinie. Die Gleichheit der Winkel an allen Kartenpunkten und die Gleichheit der Flächen sind nie zusammen, sondern nur je für sich zu erreichen. Die nicht mögliche allgemeine Längentreue würde Winkel- und Flächentreue in sich schließen. Daher gilt für die Haupteigenschaften eines[388] Kartenblattes die allgemeine Charakteristik, daß Längentreue nur in bestimmten Richtungen und Winkel- und Flächentreue nur je für sich bestehen können. Strenggenommen kann also ein einziger Maßstab nicht in allen Richtungen einer Karte gebraucht werden. Auch kann mit dem Transporteur und dem Planimeter niemals gemeinschaftlich gearbeitet werden; entweder gibt nur der Transporteur oder nur das Planimeter richtige Resultate. Hierin besteht ein wesentlicher Unterschied zwischen der Karte einer gekrümmten Fläche und der einer ebenen Fläche, dem Plane. Es ist klar, daß diese Eigenschaften einer Karte bei ihrem Gebrauche bekannt sein und berücksichtigt werden müssen. Früher gab die geometrische Uebertragung des Kugelbildes auf die Ebene die Richtschnur für den Kartenentwurf ab; heute ist das Bestreben der Projektionslehre, dem Kartenbilde die wichtigsten Eigenschaften zuzuteilen oder aus den Entwürfen einfachster und bequemster geometrischer Konstruktion diejenigen zu erkennen, die nach den genannten Eigenschaften die wichtigsten sind. In dieser Hinsicht haben besonders die Untersuchungen von Tissot [1] aufklärend gewirkt. – An jedem Punkte einer krummen Fläche gibt es zwei sich rechtwinklig schneidende Tangentialrichtungen, die auch in einer ebenen Abbildung ihre rechtwinklige Stellung zueinander beibehalten. Ein unendlich kleiner Kreis, der um einen Punkt des Urbildes beschrieben wird, erscheint in der Abbildung im allgemeinen als unendlich kleine Ellipse. Diese heißt fehlerzeigende Ellipse oder Indicatrix. Der Halbmesser des Kreises wird in den beiden Richtungen verschieden verlängert oder verkürzt, so daß aus ihm die beiden Halbachsen a und b der Ellipse entstehen. Diese Werte a und b bilden das Merkmal für die Verzerrungen, welche in einem Kartenpunkte stattfinden. Sie geben einen Maßstab für die größte lineare Verzerrung und für die größte Flächenverdehnung durch das Produkt a · b = S sowie für die größte Winkelverzerrung durch 2 ω, bestimmt nach der Beziehung sin ω = (a – b) : (a + b). Die fehlerzeigenden Werte sind von der Projektionsart abhängig und von Punkt zu Punkt veränderlich. Ist an allen Stellen der Karte a = b und demnach ω = 0, so kann das Achsenkreuz beliebig in einem Punkte gedreht werden; die Projektion ist dann winkeltreu. Ist a · b = 1, so ist die Fläche des unendlich kleinen Oberflächenkreises gleich der Fläche der unendlich kleinen Kartenellipse; die Projektion ist dann flächentreu. Das Produkt a · b ist der Verdehnungsfaktor des Flächenelementes.

2. Die Herstellung der Entwürfe. Zur Abbildung ist die mathematische Erdoberfläche gegeben, ausgedrückt durch eine Kugelfläche in der Verjüngung der Karte. Die Kugel ist mit dem abzubildenden Gradnetze versehen. Die Aufgabe der Abbildung ist allgemein, jedem Punkte des Kugelgradnetzes einen Punkt des Kartengradnetzes zuzuordnen. Es ist dabei freigestellt, nach welchem Gesetze diese Zuordnung vorgenommen werden soll. Das Gesetz kann mit Rücksicht auf eine einfache Darstellung oder mit Rücksicht auf die obengenannten wichtigen Eigenschaften bestimmt werden. Zunächst kommt die Anordnung der Abbildungsfläche in Betracht. Soll eine Zone zwischen Aequator und Pol, z.B. die gemäßigte Zone, abgebildet werden, so kann ein genähertes Zusammenfallen von Kugel- und Zeichenfläche erreicht werden, wenn letztere als Kegelmantel die Zone umschließt und diese etwa im mittleren Parallelkreis berührt. Die Abwicklung des Kegelmantels liefert die ebene Zeichnungsfläche. Der geometrische Ort für die Spitze des Kegels ist in diesem einfachen oder normalen Falle die Erdachse. Rückt die Kegelspitze in unendliche Entfernung, so wird der Kegelmantel zum Zylindermantel, der dann den Aequator berührt. Rückt die Kegelspitze dagegen bis in die Kugeloberfläche, in diesem normalen Falle also in den Pol, so wird der Kegelmantel zur Berührungs- oder Horizontalebene. Fällt der Erdradius, welcher die Achse der Abbildungsfläche enthält, nicht wie im normalen Falle in die Erdachse, sondern in den Aequator, so hat man im Vergleiche zur normalen Lage der Abbildungsfläche eine querachsige oder transversale Lage. Eine beliebige Stellung der Erdachse liefert eine schiefachsige Lage. Die Uebertragung der Kugelpunkte auf die Abbildungsfläche geschieht in Ebenen, welche durch die Achse der Abbildungsfläche und die Kugelpunkte gehen. Bei der normalen Lage entsprechen diese Ebenen demnach den Meridianebenen. Die Art der Uebertragung kann verschieden sein. Es kann von einem bestimmten geometrischen Orte der Kugel, z.B. einem Berührungspunkte oder einer Berührungslinie, ausgegangen werden. Die Kugelpunkte können dann derart übertragen werden, daß ihre Lage und die der Kartenpunkte einem beliebigen Gesetze entsprechen. Der Uebertragung kann auch eine beliebige geometrische Bedeutung beigelegt werden, so z.B., daß von dem Ausgangspunkte oder der Ausgangslinie alle oder bestimmte Kugelbogen in ihrer wahren Länge mitabstandstreu abgewickelt werden. Ferner kann auch ein bestimmter Strahlpunkt zur Hilfe genommen werden, von dem aus die Projektion durch Strahlen erfolgt; dann erhält man eine perspektivische Abbildung. – Die verschiedenen Konstruktionsbedingungen führen zu einer großen Anzahl verschiedener Abbildungsarten, die man übersichtlich in Klassen einteilen kann. Zunächst lassen sich nach den Eigenschaften der Entwürfe winkeltreue oder konforme, flächentreue oder äquivalente und vermittelnde Abbildungen unterscheiden. Zu letzteren können die obengenannten mitabstandstreuen Abbildungen gerechnet werden. Nach den Abbildungsflächen unterscheidet man Kegel-, Zylinder- und Horizontprojektionen. Letztere werden wegen der treuen Abbildung der Azimute vom Kartenmittelpunkte aus azimutale und wegen der Eintragung der Zenitabstände in den Azimuten auch zenitale Abbildungen genannt. Zu ihnen gehören alle perspektivischen Projektionen. Daneben gibt es noch eine Reihe von Entwürfen, bei denen nicht nur einer der genannten allgemeinen Gesichtspunkte geltend gemacht, sondern auch eine möglichst einfache Zeichnung oder irgend ein andrer Vorteil erstrebt wird. Diese Entwürfe werden als unechte, abgeänderte, modifizierte oder konventionelle bezeichnet. Die einfachste Uebersicht über die wichtigsten Projektionen gibt die Einteilung in konische, zylindrische und azimutale Abbildungen, wobei dann innerhalb der einzelnen Gruppen wieder winkeltreue, flächentreue, vermittelnde und unechte Abbildungen unterschieden werden. – Die allgemeinen Eigenschaften dieser drei Gruppen zeigen sich am einfachsten bei dem Vergleiche der Lage der[389] Meridianlinien auf den Abbildungen bei normaler Achsenstellung. Diese Lage wird dargestellt durch den Quotienten n, gebildet aus dem Schnittwinkel l der Meridiane im Kartenpol und dem Längenunterschied λ, den die Meridiane auf der Kugel einschließen. In Fig. 1 berührt der Kegel mit dem Scheitelpunkt T die Kugel im Punkte 0, der die Polhöhe φ hat. Danach ist n = l : λ = r₁ : R = sin φ. Rückt T in unendliche Entfernung, so wird n = 0, und es entsteht die Zylinderprojektion. Rückt T dagegen in den Pol, so wird n = 1; es entsteht dann die azimutale Projektion. Demnach ist das System der Meridiane für die normale Kegelprojektion allgemein ein System konvergierender Geraden. Der Längenunterschied l eines Meridians gegen den gewählten Anfangsmeridian wird durch den Winkel n λ ausgedrückt, wobei n zwischen 0 und 1 liegt. Die Parallelkreise sind ein System konzentrischer Kreise. Die Zylinderprojektion bildet die Meridiane als ein System paralleler Geraden ab. Da n = 0, ist auch l = n λ = 0. Die Parallelkreise sind ein zweites System von Geraden, das die Meridiane rechtwinklig schneidet. Bei der azimutalen Projektion sind die Längenunterschiede auf der Karte und auf der Kugel einander gleich, n = 1 und l = n λ = λ. Die Parallelkreise liefern ein System konzentrischer Kreise.

a) Die Kegelprojektion. Bei der einfachen Kegelprojektion ist der Konstruktionsradius R für den Mittelparallel φm (Fig. 1) R = r cotg φm, n = sin φm und l = n λ = sin φ m λ. Zur Konstruktion des berührenden Parallelkreises dienen die auf den Mittelmeridian bezogenen rechtwinkligen Koordinaten x = R sin l und y = R (1 – cos l) (Fig. 2). Die Koordinaten der übrigen Netzpunkte werden berechnet mit R ± B, worin B den Meridianbogen vom Anfangspunkte 0 bis zu dem betreffenden Parallelkreise bedeutet. Zur Konstruktion wird zuerst der Mittelmeridian MM gezogen; dann werden die Koordinaten x und y der einzelnen Netzpunkte aufgetragen. Bei kleinen Entwürfen können die Parallelkreise auch unmittelbar mit dem Zirkel aufgezeichnet werden. Nach dieser einfachen Kegelprojektion sind daher der Mittelparallel und von diesem aus die Meridianbögen längentreu aufgetragen. Die Schnittwinkel der Meridiane und Parallelen sind rechte; der Entwurf ist darum aber doch nicht winkeltreu. Diese Darstellungsweise wurde schon im Altertum angewendet; als ihr Erfinder kann Claudius Ptolemäus bezeichnet werden.

Wird Längentreue nicht für einen Mittelparallel, sondern für zwei Parallelkreise eingeführt, so wird der Berührungskegel zum Schnittkegel. Es kann dadurch eine innigere Beziehung zwischen Kugelzone und Abbildungsfläche und damit eine geringere Verzerrung erzielt werden. Nach den Polhöhen des Mittelparallels und der Schnittparallelen φm, φ₁ und φ₂ ist dann R₁ = r cos φ₁ : sin φm, R₂ = r cos φ₂ : sin φm und n = sin φm. Nun können auch die Meridiane wieder längentreu gezeichnet werden. In diesem Falle ist R₁ = Rm + B, R₂ = Rm – B, Rm = r ctg φm Δ φ : tg Δ φ ρ und n = sin φm sin Δ φ ρ : Δ φ worin Δφ den Polhöhenunterschied zwischen dem Mittelparallel und je einem Schnittparallel bedeutet. B und B und Δφ stehen zueinander in der Beziehung B = Δ φ r : ρ. Nach diesem Prinzip wurden 1554 von Mercator eine Karte von Europa und 1745 von de l'Isle eine Karte von Rußland entworfen.

Die Bedingungen der Winkeltreue und Flächentreue ergeben andre Beziehungen für R und u. Es gilt allgemein für Winkeltreue R = c r tg ¹/₂ (90° – φ)ⁿ, worin c eine Konstante bedeutet, und für Flächentreue R = 2 r sin ¹/₂ (90° – φ) : √n. Derartige Projektionen sind zuerst von Lambert [13] entwickelt worden. Dem allgemeinen Problem der winkeltreuen Abbildung einer beliebigen krummen Fläche und im besonderen des Ellipsoids dient die bahnbrechende Untersuchung von Gauß [16] als Grundlage. Weiteres über Flächen- und Winkeltreue s. die Literatur. Fig. 3 zeigt eine Vergleichung der flächentreuen, winkeltreuen und einfachen Kegelprojektion für n = 0,7 und für den gleichen Abbildungsradius des Aequators. Die eingeschriebenen Werte a, b, 2 ω und S gewähren ein Urteil über das Maß der Verzerrungen. – Wenn von der Abbildung der Meridiane durch konvergierende Gerade abgegangen und nur die Kreisform der Parallelkreisbilder beibehalten wird, entsteht die unechte Kegelprojektion. Werden die Parallelkreisbogen wie bei der einfachen Kegelprojektion konstruiert, aber von einem Mittelmeridian aus längentreu abgetragen, so erscheinen die Meridiane als stetig gekrümmte Linien (s. Fig. 4).[390] Da die Parallelkreisabstände und die zwischen den Meridianen liegenden Parallelkreisstücke in ihren wahren Längen abgebildet werden, erhält man einen flächentreuen Entwurf. Dieser ist allerdings mit einer Harken Winkelverzerrung verbunden, die namentlich in den Randvierecken der Figur in Erscheinung tritt. Die Zeichnung des Gradnetzes ist sehr einfach. Die Projektion ist schon alt und bereits 1584 von Mercator angewendet worden. Sie wird aber nach Bonne benannt, der sie 1752 besonders empfahl. Sie wurde 1808 von dem französischen »Dépôt général de la guerre« durch ihre Anwendung auf die »Carte de France« eingeführt. Die genannten beiden Eigenschaften, die Einfachheit der Zeichnung und die Flächentreue, gaben die Veranlassung, daß die Projektion danach auf die meisten Karten der geographischen Atlanten und auch auf topographische Kartenwerke, z.B. in Frankreich, Bayern, der Schweiz und den Niederlanden übernommen wurde. Auf die starke Formverzerrung haben besonders die Untersuchungen von Tissot [1] aufmerksam gemacht. Diese Untersuchungen weisen auch darauf hin, an Stelle der Projektion von Bonne geeignetere Abbildungsmethoden treten zu lassen. Für die topographischen Spezialkarten der Landesvermessungen wird das Prinzip der Kegelprojektion unter Aufgabe der Möglichkeit, die einzelnen Blätter zu einem einzigen ebenen Bilde zusammenpassen zu können, verwendet. Dabei wird das darzustellende Erdoberflächenstück in schmale Parallelkreiszonen zerlegt, und jeder Netzpunkt wird mit einem besonderen Konstruktionsradius R berechnet. Diese Abbildungsmethode, welche polykonische Projektion heißt, findet in den Vereinigten Staaten von Nordamerika Anwendung. Eine Abänderung derselben mit rechtwinkligem Schnitte von Meridian und Parallelkreis liegt den englischen Militärkarten zugrunde. In die Klasse der polykonischen Projektion läßt sich die preußische Polyederprojektion (s.d.) der Gradabteilungskarten einreihen Bei der Abbildung der von den Meridianen und Parallelkreisen eingeschlossenen Ellipsoidtrapeze werden die Trapezecken auf der Ebene bestimmt. Das Ellipsoid wird also durch ein von Trapezflächen begrenztes Polyeder ersetzt. Ein Zusammenfügen in der Ebene ist daher nur für benachbarte Blätter möglich.

Weiteres über Kegelprojektionen, auch über transversale, schiefachsige, vermittelnde und Tissots Kegelprojektionen s. die Literatur, besonders [1]–[3].

b) Die Zylinderprojektion. Bei der einfachen oder normalen Zylinderprojektion ist der Aequator eine gerade Linie. Auf dieser werden die wahren Längenunterschiede abgetragen. Das System der Meridiane steht rechtwinklig zu dieser Aequatorlinie. Durch Auftragen der Parallelkreise in den wahren Bogenabständen y parallel zum Aequator erhält man ein Quadratnetz. Dieses einfache Netz ist das der quadratischen Plattkarte des Altertums. Die Verzerrung in den Parallelen ist aus Fig. 5 ohne weiteres ersichtlich. Wenn als Mittelparallel an Stelle des Aequators ein Parallelkreis gewählt wird, so entsteht ein Netz mit rechteckigen Maschen. Beide Netze sind wegen der Verzerrungen in den Parallelen nur für schmale Zonen anwendbar. Wird für die Zylinderprojektion die Bedingung der Winkeltreue eingeführt, so ergibt sich für den Abstand y der Parallelen die allgemeine Beziehung y = r log nat tg (45° + ¹/₂ φ). Der Bedingung der Flächen treue entspricht die allgemeinen Beziehung y = r sin φ. Die winkeltreue Zylinderprojektion wurde 1569 zuerst von Mercator angegeben und wird daher allgemein Mercator-Projektion genannt (s. Fig. 5). Sie ist als Seekartenentwurf bekannt, wird aber auch für Erdübersichtskarten verwendet. Die Parallelkreisbogen in der Breite φ werden im Verhältnis 1 : cos φ vergrößert. Die bedeutende Flächenverzerrung fällt ohne weiteres bei der Betrachtung der polwärts an Größe zunehmenden Rechtecke auf; s.a. die Verzerrungswerte. Mercator gab den allgemeinen Ausdruck für y nicht an; sein Konstruktionsprinzip lautete: »Es werden die Breiten polwärts in demselben Maße vergrößert, als die Parallelkreise im Verhältnis zum Aequator vergrößert erscheinen.« Der Entwurf heißt daher Projektion mit »vergrößerten Breiten« oder auch »reduzierte Karte«. Der wesentlichste Vorteil des Entwurfs ist neben der Einfachheit der Netzkonstruktion die Winkeltreue, welche den unmittelbaren Gebrauch des Gradbogens zum Eintragen und Entnehmen von Azimuten gestattet. Dieser Vorteil macht die Projektion besonders für die Nautik zum Absetzen und Ablesen des Kurses mit Hilfe des Kompasses[391] unentbehrlich und sichert ihre Bedeutung. Wenn von einem Kugelpunkte aus eine Linie geführt wird, die sämtliche Meridiane unter demselben Azimut oder derselben Schiefe schneidet, so umwandert sie die Kugel in einer Spirale. Auf der Karte wird diese Linie wegen der Winkeltreue und Parallelität der Meridiane als eine gerade Linie abgebildet. Die Linie heißt Loxodrome oder Schiefelinie, und die Karte von der besprochenen Projektion wird loxodromische genannt. Für Uebersichtskarten zu geophysischen Darstellungen wird der Entwurf ebenfalls viel gebraucht, während er wegen der Harken Flächenverzerrungen (s. S in Fig. 5) zur Ermittlung von Flächenangaben nicht geeignet ist. Für diesen Zweck wird besser ein flächentreuer Entwurf gewählt. Eine Projektion dieser Art ist die isozylindrische von Lambert, (s. Fig. 5); die Abstände y sind gleich denen der Parallelkreisebenen.

Wird von der Abbildung der Meridiane als einem System paralleler Geraden abgegangen, und werden nur die Parallelkreise als eine Schar paralleler Geraden dargestellt, so entstehen die unechten Zylinderprojektionen. Ein solcher Entwurf ist der wohl auf Mercator zurückzuführende, aber nach Sanson und Flamsteed benannte in Fig. 5. Die Parallelen werden wie bei der einfachen Zylinderprojektion dargestellt. Die Parallelkreisbogen werden vom Mittelmeridian aus längentreu abgesetzt, so daß die Meridiane als stetig gekrümmte Linien erscheinen. Dabei wird eine flächentreue Abbildung gewonnen. Die Karten von Afrika in den meisten Atlanten sind nach dieser Projektion entworfen. Ein andrer unecht zylindrischer Entwurf ist der von Mollweide. Er wird auch wohl als Babinets homalographische Projektion bezeichnet (s. Fig. 5). Die Halbkugel wird als Kreis mit dem Radius R = r√2 dargestellt, wodurch eine flächentreue Abbildung erhalten wird. Das Netz der Meridiane wird ebenfalls flächentreu abgebildet, wenn die Meridiane als Ellipsen über dem Polardurchmesser als große Achse konstruiert werden und wenn die kleinen Halbachsen der einzelnen Meridianellipsen den Aequator in gleiche Teile zerlegen. Die Abstände der als eine Schar paralleler Geraden konstruierten Parallelkreise vom Aequator sind y = R sin φ₁, wobei φ₁ aus der Gleichung 2 φ₁ : ρ + sin 2 φ₁ = π sin φ zu bestimmen ist. Eine Tabelle für φ₁ für Intervalle von halben Graden ist in [8] enthalten. Die Projektion findet zu flächentreuen Erdübersichtskarten vielfach Anwendung, obwohl die Winkelverzerrungen sehr stark sind (s. Fig. 5). Querachsige oder transversale und schiefachsige Zylinderprojektionen mit Berührung in einem Meridian oder einem beliebigen Großkreise können Verwendung finden bei der Abbildung von Landstreifen, welche die entsprechende Richtung haben. Die querachsige einfache Zylinderprojektion ist von Cassini auf die alte Karte von Frankreich angewendet worden. Diese querachsige Plattkarte wurde nach Cassini benannt. Berührungsmeridian war der Meridian von Paris. Später sind in dieser Projektion auch die alten Karten von Oesterreich-Ungarn und England ausgeführt worden. Wegen der Anwendung der querachsigen Zylinderprojektionen zu Spezialvermessungen s. Koordinaten, geodätische. Weiteres über zylindrische Abbildungen s. die angegebene Literatur.

c) Azimutale und perspektivische Projektionen. Azimutale Abbildung ist jede Aufzeichnung der Polarkoordinaten (s.d.) beliebiger Punkte vom Anfangspunkte der Koordinaten aus. Auf die Kartenprojektion übertragen, bedeutet azimutale Abbildung die Darstellung des geographischen Koordinatennetzes nach diesem Prinzipe. Zum Anfangspunkte des Polarkoordinatensystems, das zur Konstruktion dient, wird ein geeigneter Kugelpunkt, der Haupt- oder Kartenmittelpunkt, gewählt. An diesen Punkt wird eine die Kugel berührende Zeichenebene gelegt, auf der die andern Kugelpunkte dargestellt werden. Wenn auf dem Kugelradius des Hauptpunktes oder auf der Verlängerung des Radius ein Punkt angenommen wird, von dem aus die Kugelpunkte durch Sehstrahlen auf die Bildebene perspektivisch projiziert werden, so entsteht die perspektivische Abbildung. Den einfachsten Einblick in die azimutalen Abbildungen gewährt der normale Fall, in dem der Kartenmittelpunkt in den Pol verlegt wird, so daß die Abbildungsfläche die Kugel im Pole berührt. Die Schnitte der Meridianebenen mit der Bildfläche liefern das System der Meridiane mit n = 1, also eine unmittelbare Abbildung der wahren geographischen Längen- oder Richtungsunterschiede l = λ. Auf diesen Meridianstrahlen werden die Punktorte nach den besonderen für den Entwurf ausgewählten Bedingungen entweder abstands-, winkel-, flächentreu, vermittelnd oder perspektivisch aufgetragen. Es entsteht dann nach [6] ein strahliger Entwurf. Werden die Polabstände γ = 90 – φ längentreu abgesetzt, so erhält man längentreue Meridianabstände oder Abstandstreue vom Kartenmittelpunkte, die gleichzeitig eine sehr brauchbare Vermittlung zwischen Flächen- und Winkeltreue liefert. Der Entwurf ist dann mittabstands- oder speichentreu [6]. Für die Bedingung der Winkeltreue gilt die Beziehung R = 2 r tg ¹/₂ γ und für Flächentreue R = 2 r sin ¹/₂ γ. Die Bestimmung von R nach der ersten Formel entspricht der perspektivischen Projektion von dem Kugelpunkte aus, der dem Hauptpunkte gegenüber liegt. Die Projektion bezeichnet man als die stereographische. Sie hat neben der Winkeltreue noch die besonders hervorzuhebende Eigenschaft, daß jeder Kreis der Kugeloberfläche in der Bildebene wieder als Kreis erscheint. Wird der Strahlpunkt in den Kugelmittelpunkt verlegt, so wird R = r tg γ. Man erhält dann eine Projektion mit der wichtigen Eigenschaft, daß alle Großkreise, also die kürzesten Verbindungslinien zwischen zwei Kugelpunkten, als gerade Linien abgebildet werden. Nach dieser Eigenschaft bezeichnet man die Projektion als orthodromische oder geradwegige, während man sie nach ihren perspektivischen Eigenschaften die Zentralprojektion oder auch gnomonische Projektion nennt. Der Entwurf kann demnach zur unmittelbaren Angabe des kürzesten Weges zwischen zwei Kugelpunkten, des orthodromischen Kurses, dienen und ist in diesem Sinne eine Ergänzung der winkeltreuen Mercator-Zylinderprojektion. Wird der Strahlpunkt in unendlicher Entfernung vom Hauptpunkte angenommen, so wird R = r sin γ. Die Konstruktion ergibt dann die orthographische, orthogonale oder Parallelperspektive. Sie liefert das der Betrachtung aus unendlicher Entfernung entsprechende Bild, so daß sie für spezielle Fälle, z.B. Monddarstellungen, zur Anwendung kommen kann. – Liegt der Kartenmittelpunkt[392] nicht normal im Pol, sondern an einer beliebigen Stelle der Erdoberfläche, z.B. in der Mitte des abzubildenden Landes oder Erdteiles, so geht aus der Konstruktion ein schiefachsiger Entwurf hervor. An die Stelle der Meridiane treten die Azimutalkreise und an die Stelle der Parallelkreise die Horizontalkreise. Während bei der normalen Projektion die geographischen Koordinaten φ und λ der Netzpunkte unmittelbar verwendet werden können, müssen hier die zur Konstruktion dienenden Polarkoordinaten, die zenitalen Koordinaten α und δ erst aus den geographischen Koordinaten berechnet werden. Es bestehen die Beziehungen

cos δ = sin φ₀ sin φ + cos φ₀ cos φ cos λ und sin α = cos φ sin λ : sin δ.

Hierin ist φ₀ die Polhöhe des Kartenmittelpunktes. Wird der Kartenmittelpunkt bei der querachsigen Projektion in den Aequator verlegt, so wird cos δ = cos φ cos λ und tg α = ctg φ sin λ. In [2] sind ausführliche Tabellen zur Berechnung von δ und α aus φ und λ für Netzintervallen von 5° und für die Hauptpunktbreiten 0°, 15°, 20° ... 75° gegeben. Ein Beispiel zu einem schiefachsigen 20°-Netze von Asien gibt Fig. 6. Der Hauptpunkt liegt in 40° nördlicher Breite und 100° örtlicher Länge von Greenwich. Die Hauptkreise sind längentreu abgebildet. – Neben den genannten Entwürfen ist eine Reihe andrer Projektionen angegeben worden, die zwischen den Hauptforderungen vermitteln, um z.B. bei Flächentreue möglichst geringe Winkelverzerrungen zu erhalten oder bei den perspektivischen Projektionen, bei denen. Flächentreue nicht zu erreichen ist,. möglichst geringe Flächen- und Längenverzerrungen zu bekommen. Zu den ersteren sind die Entwürfe von Airy [18] und Breusing [6] zu erwähnen. Dieser führt das geometrische Mittel aus den Halbmessern der flächen- und winkeltreuen Entwürfe ein mit

Bei den perspektivischen vermittelnden Projektionen wird der Strahlpunkt außerhalb der Kugel angenommen. Sie heißen daher externe Projektionen. Es mögen hier die Entwürfe von Clarke, James, Tarent, Lowry, La Hire, Fischer und Hammer erwähnt werden, s. [1]–[3]. Während diese letztgenannten Entwürfe der neueren Zeit entstammen, sind die stereographischen, orthodromischen und orthographischen Projektionen schon sehr alt. Die Winkeltreue des stereographischen Entwurfs erkannte schon Mercator, der auch den häufig nach Postel benannten mittabstandstreuen Entwurf bereits verwendete, während der flächentreue von Lambert herrührt. – Zur Darstellung von Erdhalbkugeln oder Planigloben dient neben den mittabstandstreuen, winkeltreuen und flächentreuen Entwürfen die konventionelle Globularprojektion. Bei dieser werden der Mittelmeridian und der Aequator als gerade Linien, alle andern Meridiane und die Parallelkreise aber als Kreisbogen derart dargestellt, daß der Mittelmeridian, der Begrenzungsmeridiankreis und der Aequator in gleiche Teile zerlegt werden. Es entsteht dadurch ein schiefschnittiges Kreisnetz. Eine Vermittlung zwischen dieser und der winkeltreuen stereographischen Projektion liefert Nells modifizierte Globularprojektion. Fig. 7 zeigt die drei wichtigsten azimutalen Abbildungen und die Globularprojektion.

[393] 3. Wahl der Projektionsart. Unter der großen Anzahl von Entwurfsarten, die bisher angewendet, vorgeschlagen oder überhaupt möglich sind, ist nach den früher erwähnten Gesichtspunkten für jeden Fall die geeignetste auszuwählen. Es können dabei mehrere Entwurfsarten in die engere Wahl kommen, wobei dann zuweilen auch Nebenumstände ausschlaggebend sein können. Im allgemeinen möge auf die folgenden Gesichtspunkte hingewiesen werden. Als von vornherein feststehend kann angenommen werden, daß als Entwurfsarten sich eignen für topographische Spezialkarten der Gradabteilungsentwurf, für See- oder nautische Kurskarten Mercators winkeltreue Zylinderprojektion und neben dieser loxodromischen Karte etwa noch die orthodromische Zentralperspektive, für Mond- und Planetenansichten die orthographische Perspektive und für Sternzonenkarten die winkeltreue Kegelprojektion. Die Zentralperspektive kann auch für Sternkarten Verwendung finden. Die Projektion nautischer Vermessungskarten erfolgt nach denselben Gesichtspunkten wie die der Landkarten. Eine besondere Entscheidung über die Entwurfsart kommt demnach in Betracht für Erdübersichtskarten, Erdteilkarten und Landkarten großer und kleiner Gebiete. Auf Uebersichtskarten der ganzen Erde, die in der Regel nicht als Unterlagen für exakte Messungen mit Maßstab und Planimeter dienen sollen, kann je nach dem Zweck entweder die winkeltreue zylindrische Mercator-Projektion oder ein flächentreuer Entwurf, wie der von Mollweide, oder eine flächentreue zylindrische Projektion mit längentreuen Parallelkreisen oder endlich die sogenannte isozylindrische Projektion von Lambert angewendet werden. In jedem Falle sind entweder die Flächen- oder die Winkelverzerrungen sehr groß; s. Fig. 5. Für die Darstellung von Erdhalbkugeln bieten sich die azimutalen Entwürfe dar, und zwar der flächentreue, der winkeltreue oder der als vermittelnder Entwurf sehr geeignete mittabstandstreue; s. Fig. 6. Diese Entwürfe sind auch geeignet für Erdteile, Länder und Inseln, welche eine abgerundete Gestalt haben und nach ihrer Lage auf der gekrümmten Erdoberfläche Kugelhauben entsprechen. Hierfür können auch die vermittelnden Projektionen von Airy und Breusing oder besonders für Gebiete geringeren Umfangs die nach Tissot [1] zu bestimmenden Projektionen kleinster Verzerrung gewählt werden. Erdteile, Länder, Inselgruppen und sonstige Gebiete mit größerer Längen- als Breitenausdehnung können dargestellt werden durch die normale Kegelprojektion, wenn die Hauptausdehnung die Richtung der Parallelkreise hat, durch die querachsige Zylinderprojektion bei meridionaler Ausdehnung und durch die schiefachsige Kegel- oder Zylinderprojektion bei schiefer Lage der Richtung der Hauptausdehnung. Je nach Anforderung sind winkeltreue, flächentreue oder vermittelnde Entwürfe zu wählen. Die Kegelprojektionen, welche auch besonders auf ausgedehnte Länder und Erdteile vielfache Anwendung finden, sind den azimutalen gegenüber zurzeit vorherrschend. Für Polargegenden wird man unmittelbar auf azimutale, für die Aequatorialzone auf zylindrische Entwürfe hingewiesen. In [1] sind für alle praktisch in Betracht kommenden Entwurfsarten die Kriterien 2 ω, a, b und S in Tabellen zusammengestellt, so daß darin die Grundlage für die Beurteilung der Projektionen gegeben ist.

Literatur: [1] Tissot, Mémoire sur la représentation des surfaces et les projections des cartes géographiques, Paris 1881, oder die deutsche Bearbeitung von Hammer, Die Netzentwürfe geographischer Karten von A. Tissot, Stuttgart 1887. – Als Ergänzung hierzu [2] Hammer, Ueber die geographisch wichtigsten Kartenprojektionen, Stuttgart 1889. – Als Lehrbücher sind zu nennen: [3] Herz, Lehrbuch der Landkartenprojektion, Leipzig 1885. – [4] Gretschel, Lehrbuch der Kartenprojektion, Weimar 1873. – [5] Zöppritz, Leitfaden der Kartenentwurfslehre, Leipzig 1884; in 2. Aufl. bearbeitet von Bludau, Leipzig 1899. – [6] Breusing, Das Verebnen der Kugeloberfläche, Leipzig 1892. – [7] Steinhauser, Grundzüge der mathematischen Geographie und der Landkartenprojektion, Wien 1887. – [8] Germain, Traité des projections des cartes géographiques, Paris 1866. – [9] Fiorini, Le projezioni delle carte geografiche, Bologna 1881. – [10] Craig, Treatise on projection, Washington 1882. Die Werke [5], [6] und [7] sind leicht verständlich; für eine erste Einführung ist besonders [5] geeignet. – Aeltere deutsche Lehrbücher sind: [11] Mayer, J.T., Praktische Geometrie, 4. Teil, Göttingen 1804. – [12] Littrow, Chorographie, Wien 1833. – Einige Sonderschriften von Bedeutung sind: [13] Lambert, Beiträge zum Gebrauche der Mathematik, 3. Teil, Berlin 1772, bequem zugänglich in Ostwalds Klassikern der exakten Wissenschaften, Nr. 54, Anmerkungen und Zusätze zur Entwerfung der Land- und Himmelskarten. – [14] Frischauf, Beiträge zur Geschichte und Konstruktion der Kartenprojektionen, Graz 1891. – [15] De Lagrange, Ueber die Konstruktion geographischer Karten, Nouveaux Mémoires de l'Académie royale de Berlin, 1779, bequem zulänglich in Ostwalds Klassikern der exakten Wissenschaften, Nr. 55. – [16] Gauß, Allgemeine Auflösung der Aufgabe: Die Teile einer gegebenen Fläche auf einer andern gegebenen Fläche so abzubilden, daß die Abbildung dem Abgebildeten in den kleinsten Teilen ähnlich wird. Astron. Abhandl., 3. Heft, Altona 1825, auch in Gauß' Werken, Bd. 4, Göttingen 1873, und bequem zugänglich in Ostwalds Klassikern der exakten Wissenschaften, Nr. 55. – [17] Euler, Drei Abhandlungen über Kartenprojektion, Acta Acad. Scient. Imperial Petropolitanae, 1777, bequem zugänglich in Ostwalds Klassikern der exakten Wissenschaften, Nr. 93. – [18] Explanation of a projection by balance of errors, Philos. Magazine, 4. Serie, Bd. 22, 1861. – [19] Frischauf, Die Abbildungslehre und deren Anwendung auf Kartographie und Geodäsie, Leipzig 1905.

(† Reinhertz) Hillmer.

Fig. 1., Fig. 2., Fig. 3.

Fig. 4.

Fig. 5.

Fig. 6.

Fig. 7.