Polyeder

Polyeder (Vielflach), ein von ebenen Flächen (Polygonen) begrenzter Körper. Je zwei Flächen stoßen in einer Kante, je drei oder mehr Kanten (und Flächen) in einer Ecke zusammen; sie bilden in den letzteren Vielkante.

Um ein Modell des Polyeders herzustellen, muß man sich dasselbe zunächst nach gewissen Kanten aufgeschnitten und sämtliche Flächen in die Ebene ausgebreitet denken (Netz des Polyeders). Zwei Polyeder heißen entsprechend gleich, wenn alle ihre homologen Flächen, Kanten, Vielkante und Winkel in beiden einander gleich sind. Können sie außerdem noch zur Deckung gebracht werden, so heißen sie kongruent, andernfalls symmetrisch. Sind in zwei Polyedern die homologen Winkel gleich, die Kanten und Flächen proportional, so heißen sie ähnlich, und zwar in gleichem oder in entgegengesetztem Sinn, je nachdem homologe Vielkante in beiden kongruent oder symmetrisch sind. – Ein Polyeder heißt ein gewöhnliches, wenn sämtliche Ecken durch einen sich selbst nicht schneidenden Kantenzug verbunden werden können, ohne daß eine Ecke zweimal berührt wird, und wenn ferner, nach Aufschneidung des Polyeders längs dieses Kantenzugs, die Fläche ohne Aufschneidung weiterer Kanten in die Ebene ausgebreitet werden kann. Ist E die Zahl der Ecken, K diejenige der Kanten, F diejenige der Flächen eines gewöhnlichen Polyeders, so ist E + F = K + 2 (die Eulersche Formel). Ferner ist die Zahl der Polygonwinkel W = 2 K und die Summe aller Polygonwinkel 4 (E – 2) Rechte. Eulersche Polyeder heißen diejenigen außergewöhnlichen Polyeder, für welche die Eulersche Formel ebenfalls gilt.

A. Reguläre Polyeder heißen solche, deren sämtliche Flächen kongruente reguläre Polygone sind. Dabei sind alle Kanten und Winkel gleich und in allen Ecken befinden sich kongruente Vielkante. In jedes reguläre Polyeder lassen sich eine Kugel vom Radius R um- und eine konzentrische vom Radius r einbeschreiben; eine dritte konzentrische Kugel vom Radius o berührt die Kanten. Ist ferner a die Kantenlänge, O die Oberfläche, J der Inhalt, so sind die fünf regulären Polyeder (pythagoräische oder platonische Körper): a) Das Tetraeder mit 4 dreikantigen Ecken, 6 Kanten und 4 dreieckigen Flächen. Es ist

b) Das Hexaeder (Würfel) mit 8 dreikantigen Ecken, 12 Kanten und 6 viereckigen Flächen. Es ist

c) Das Oktaeder mit 6 vierkantigen Ecken, 12 Kanten und 8 dreieckigen Flächen. Es ist

Hexaeder und Oktaeder sind reziprok; sie haben gleiche Kantenzahl und die Eckenzahl des einen ist gleich der Flächenzahl des andern, d) Das Dodekaeder (Pentagonaldodekaeder) mit 20 dreikantigen Ecken, 30 Kanten und 12 fünfeckigen Flächen. Es ist

e) Das Ikosaeder mit 12 fünfkantigen Ecken, 30 Kanten und 20 dreieckigen Flächen. Es ist

Dodekaeder und Ikosaeder sind ebenfalls reziprok. Durch Verlängerung aller Kanten des Dodekaeders (Ikosaeders), von denen sich je fünf (drei) in einem Punkt schneiden, entsteht ein Sternpolyeder, dessen 12 (20) Spitzen die Ecken eines Ikosaeders (Dodekaeders) bilden. – Die regulären Polyeder spielen in der Theorie der Substitutionsgruppen eine Rolle, indem dieselben bei gewissen Drehungen des Raums unter bloßer Vertauschung von Eckpunkten in sich selbst übergehen. In der Invariantentheorie ordnet man den regulären Polyedern binäre Formen zu, derart, daß, wenn man letztere gleich Null setzt, die Wurzeln der entstehenden Gleichung als komplexe Zahlen auf einer Kugel abgebildet gerade die Ecken des betreffenden Polyeders ergeben.

B. Gleichflächig-halbreguläre Polyeder. Die Ecken sind reguläre Vielkante von zwei- oder dreierlei Art, die Flächen kongruente, nicht reguläre Polygone, a) Pyramidentetraeder (Trigondodekaeder) mit 4 sechskantigen und 4 dreikantigen Ecken, 18 Kanten und 12 gleichschenkeligen [182] Dreiecken als Flächen, b) Pyramidenwürfel (Tetrakishexaeder) mit 8 sechskantigen und 6 vierkantigen Ecken, 36 Kanten und 24 gleichschenkeligen Dreiecken als Flächen, c) Pyramidenoktaeder (Triakisoktaeder) mit 6 achtkantigen und 8 dreikantigen Ecken, 36 Kanten und 24 gleichschenkeligen Dreiecken als Flächen, d) Pyramidendodekaeder mit 20 sechskantigen und 12 fünfkantigen Ecken, 90 Kanten und 60 gleichschenkeligen Dreiecken als Flächen, e) Pyramidenikosaeder mit 12 zehnkantigen und 20 dreikantigen Ecken, 90 Kanten und 60 gleichschenkeligen Dreiecken als Flächen, f) Oktaedrisches Granatoeder (Rhombendodekaeder) mit 8 dreikantigen und 6 vierkantigen Ecken, 24 Kanten und 12 Rhomben als Flächen, g) Ikosaedrisches Granatoeder mit 20 dreikantigen und 12 fünf kantigen Ecken, 60 Kanten und 30 Rhomben als Flächen. Die beiden Granatoeder heißen auch Keplersche Körper, h) Oktaedrisches Leucitoeder mit 6 vierkantigen, 12 von ihnen verschiedenen vierkantigen und 8 dreikantigen Ecken, 48 Kanten und 24 Deltoiden als Flächen, i) Ikosaedrisches Leucitoeder mit 12 fünfkantigen, 30 vierkantigen und 20 dreikantigen Ecken, 120 Kanten und 60 Deltoiden als Flächen, k) Oktaedrisches Diamantoeder mit 6 achtkantigen, 8 sechskantigen und 12 vierkantigen Ecken, 72 Kanten und 48 ungleichseitigen Dreiecken als Flächen. l) Ikosaedrisches Diamantoeder mit 12 zehnkantigen, 30 vierkantigen und 20 sechskantigen Ecken, 180 Kanten und 120 ungleichseitigen Dreiecken, m) Oktaedrisches Gyroeder mit 6 vierkantigen, 8 dreikantigen und 24 davon verschiedenen dreikantigen Ecken, 60 Kanten und 24 unsymmetrischen Fünfecken als Flächen, n) Ikosaedrisches Gyroeder mit 12 fünfkantigen, 20 dreikantigen und 60 davon verschiedenen dreikantigen Ecken, 150 Kanten und 60 unsymmetrischen Fünfecken als Flächen.

C. Gleicheckig-halbreguläre Polyeder (archimedische Körper). Die Flächen sind reguläre Polygone von zweierlei oder dreierlei Art, die Ecken kongruente, nicht reguläre Vielkante, a) Körper mit 12 dreikantigen Ecken, 18 Kanten und 4 viereckigen und 4 dreieckigen Flächen, entsteht durch Abstumpfung der Ecken aus dem Tetraeder, b) Körper mit 24 dreikantigen Ecken, 36 Kanten und 8 sechseckigen und 6 viereckigen Flächen, entsteht durch Abstumpfung der Ecken aus dem Oktaeder, c) Körper mit 24 dreikantigen Ecken, 36 Kanten und 6 achteckigen und 8 dreieckigen Flächen, entsteht durch Abstumpfung der Ecken aus dem Würfel, d) Körper mit 60 dreikantigen Ecken, 90 Kanten und 20 Sechsecken und 12 Fünfecken als Flächen, entsteht durch Abstumpfen der Ecken aus dem Ikosaeder. e) Körper mit 60 dreikantigen Ecken, 90 Kanten und 12 Zehnecken und 20 Dreiecken als Flächen, entsteht durch Abstumpfung der Ecken aus dem Dodekaeder, f) Körper mit 12 vierkantigen Ecken, 24 Kanten und 8 dreieckigen und 6 viereckigen Flächen, entsteht durch Abstumpfung der Ecken bis zur Kantenmitte aus Oktaeder oder Würfel (sogenannte Kuboktaeder), g) Körper mit 30 vierkantigen Ecken, 60 Kanten und 20 Dreiecken und 12 Fünfecken als Flächen, entsteht durch Abstumpfung der Ecken bis zur Kantenmitte aus Dodekaeder oder Ikosaeder. h) Körper mit 24 vierkantigen Ecken, 48 Kanten und 6 viereckigen, 12 andern viereckigen und 8 dreieckigen Flächen, i) Körper mit 60 vierkantigen Ecken, 120 Kanten und 12 Fünfecken, 30 Vierecken und 20 Dreiecken als Flächen, k) Körper mit 48 dreikantigen Ecken, 72 Kanten und 6 Achtecken, 8 Sechsecken und 12 Vierecken als Flächen. l) Körper mit 120 dreikantigen Ecken, 180 Kanten und 12 Zehnecken, 20 Sechsecken und 30 Vierecken als Flächen, m) Körper mit 24 fünfkantigen Ecken, 60 Kanten und 6 viereckigen, 8 dreieckigen und 24 andern dreieckigen Flächen. n) Körper mit 60 fünfkantigen Ecken, 150 Kanten und 12 Fünfecken, 20 Dreiecken und 60 andern Dreiecken als Flächen. Die gleichflächigen Polyeder sind zu den gleicheckigen reziprok.

Literatur: [1] Eberhard, Zur Morphologie der Polyeder, Leipzig 1891. – [2] Hermes, Verzeichnis der einfachsten Vielflache, Berlin 1896. – [3] Hohl, Die Lehre von den Polyedern, 2. Aufl., Tübingen 1881. – [4] Reinhardt, Einleitung in die Theorie der Polyeder, Meißen 1890. – [5] Klein, Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichung fünften Grads, Leipzig 1884. – [6] Brückner, Vielecke und Vielflache, Leipzig 1900. – [7] Haag, Die regulären Kristallkörper, Rottweil 1887. – [8] Kugel, Die regulären und halbregulären Polyeder, Neustadt a. H. 1876. – [9] Löwe, lieber die regulären und Poinsotschen Körper und ihre Inhaltsbestimmung vermitteln Determinanten, 2. Aufl., München 1883. – [10] Schelle, Elementare Ableitung und Berechnung der einfachsten Kristallpolyeder, 1. und 2. Teil, Kempten 1873,80. – [11] Wiener, C., Ueber Vielecke und Vielflache, Leipzig 1864.

Wölffing.