Differenzengleichungen

Differenzengleichungen kommen in der Differenzenrechnung vor und sind entweder Gleichungen zwischen aufeinander folgenden Gliedern der Hauptreihe, also etwa f (x, u_x, u_{x + 1} ... u_{x + n}) = 0, oder Gleichungen zwischen u_x und einer Anzahl von Differenzen, also etwa f (x, u_x Δu_x, Δ²u_x ... Δⁿu_x) = 0. Jede dieser Formen kann übrigens auf die andre zurückgeführt werden.

Eine Differenzengleichung integrieren heißt die Funktion u_x finden, die derselben genügt. Die Integrale der Differenzengleichungen werden als »endliche Integrale« bezeichnet; die Integration besteht in der Tat aus einer Summierung endlicher Reihen. Die Integration der linearen Differenzengleichungen:

au_{x + n} + bu_{x + n – l} + ... + pu_{x + 1} + qu_x = r

bietet große Analogien mit der Integration der linearen Differentialgleichungen dar (s. Differentialgleichungen II. a) und b). Fehlt das Absolutglied r, so heißen dieselben rekurrente Gleichungen.

Literatur: Die unter Differenzenrechnung [1] und [2] aufgeführten Werke; ferner Heymann, W., Studien über die Transformation und Integration der Differentialgleichungen und Differenzengleichungen, Leipzig 1891, Kap. 4.

Wölffing.