Spannungstrajektorien

Spannungstrajektorien. Denkt man sich in irgend einem Punkte eines Körpers die Richtung einer Hauptspannung (s.d.) oder Hauptschubspannung (s.d.) bestimmt und beginnt damit eine Linie, der man nach beiden Seiten fortschreitend stets die Richtungen der entsprechenden Hauptspannung oder Hauptschubspannung in denjenigen Punkten gibt, welche die Linie nacheinander durchschreitet, so erhält man eine Trajektorie der betreffenden Spannung. Die Linien zusammen werden Spannungstrajektorien genannt.

Man hat dieselben besonders für gerade und einfach gekrümmte stabförmige Träger ermittelt. Bei horizontalen Balken beispielsweise (Bd. 1, S. 503, 507, 518, Bd. 2, S. 55) verlassen die Trajektorien des größten Zugs und Drucks (Fig. 1) die äußerste Druck- bezw. Zugfaser unter 90°, schneiden die neutrale Schicht unter 45° und legen sich, soweit die Stablänge zuläßt, asymptotisch an die äußerste Zug- bezw. Druckfaser. Die Trajektorien des größten positiven und negativen Schubs (Fig. 2) verlassen die beiden äußersten Fasern unter 45° und schneiden die neutrale Schicht unter 90° oder legen sich asymptotisch an dieselbe. Alle Trajektorien des größten Zugs oder Drucks schneiden alle ihnen begegnenden Trajektorien des größten Drucks oder Zugs unter 90° und alle ihnen begegnenden Trajektorien des größten Schubs unter 45° (Fig. 3). Die Trajektorien des größten Zugs und Drucks bilden die Spuren derjenigen Flächen, deren Elemente den größten Druck oder Zug erleiden. Da längs dieser Flächen keine Schubkräfte wirken (Bd. 4, S. 791), so wäre ein Balken auch widerstandsfähig, wenn er nur aus getrennten Fasern in den Richtungen der Flächen bestünde (Fig. 4), womit er dem Fachwerkträger (Bd. 3, S. 533, 543) nahe käme, dessen Glieder ebenfalls nur Zug oder Druck erleiden. Vgl. Paulische Träger, Bd. 7, S. 54. Bei starken Beanspruchungen prägen sich die Spannungstrajektorien mitunter aus. So entspricht die Andeutung in Fig. 5 Schlagversuchen mit einem Blechbalken von Tetmajer (Mitteil. d. Materialprüfungsanstalt in Zürich, 4. Heft, 1890, S. 102). Auch gewisse zuerst durch H. v. Meyer hervorgehobene Faserbildungen in Knochen und Bäumen hat man mit Culmann entsprechend den Spannungstrajektorien (der Normalspannungen) verlaufend gefunden ([4], [5], [6], [9], S. 128).

Literatur: [1] Lamé, Leçons sur les coordonnées curvilignes, Paris 1859, S. 272 (vgl. [8]). – [2] Rankine, A manuel of applied mechanics, London 1864, S. 342 (14. Aufl., 1895, S. 342). – [3] Culmann, Die graphische Statik, Zürich 1866, S. 235 und Taf. 10, 11. – [4] Meyer, Die Architektur der Spongiosa, Archiv f. Anatomie u. Physiologie u. wissenschaftl. Medizin, Leipzig 1867, S. 615. – [5] Wolff, Ueber die innere Architektur der Knochen und ihre Bedeutung für die Frage vom Knochenwachstum, Archiv s. pathologische Anatomie und Physiologie und für klinische Medizin, 1870, L, S. 389. – [6] Meyer, Die Statik und Dynamik des menschlichen Knochengerüstes, Leipzig 1873. – [7] Weyrauch, Allgem. Theorie und Berechnung der kontinuierlichen und einfachen Träger, Leipzig 1873, S. 17 und Taf. 1. – [8] Weingarten, Zur Theorie der isostatischen Flächen, Crelles Journal s. reine und angew. Mathematik 1881, XC, S. 18. – [9] Ritter, Anwendungen der graphischen Statik, I. Die im Innern eines Balkens wirkenden Kräfte, Zürich 1888, S. 22, 75, 109, 123, 128 und Taf. 3–5. – [10] Geitel, Die innere[161] Konstruktion der Knochen im Lichte der Graphostatik und des Transformationsgesetzes des Herrn Prof. Dr. Julius Wolff, Glasers Annalen 1896, XXXIX, S. 173.

Weyrauch.

Graphische Ableitung.

Besitzt der Körper parallele Schnittflächen, auf die keine oder bloß normale Spannungen einwirken, so läßt sich die Untersuchung der Spannungskurven auf die Ebene beschränken; in diesem Falle ist ihre Ableitung verhältnismäßig einfach. – Es sei a b c (Fig. 6) ein unendlich kleines, rechtwinkeliges Körperelement von der Länge Eins; σ₁ σ₂ σ₃ und τ₁ τ₂ τ₃ seien die auf die drei Schnittflächen wirkenden normalen und tangentialen Spannungen. Multipliziert man jede der sechs Spannungen mit der ihr entsprechenden Länge, so bekommt man sechs Kräfte, die unter sich im Gleichgewicht stehen. In der Fig. 7 sind diese Kräfte zu einem geschlossenen Krafteck A B C D E F zusammengesetzt. Da die Schubspannungen für zwei aufeinander senkrechte Schnitte stets gleich groß sind, so ist τ₁ = τ₂. Verlängert man C D und E F bis G, so verhält sich D G : D E = a : b folglich ist D G = τ₂ a = τ₁ a. Ferner hat der Punkt H, in welchem sich B C und A F schneiden, von B den Abstand σ₂ a, weil B H : A B = a : b. Aendert man die Richtung von c, indem man a festhält und b wachsen läßt, so bleiben die Punkte B C D G und H fest, weil ihre gegenseitigen Entfernungen nur von der Längen und den Spannungen σ₁ σ₂ τ₁ und τ₂ abhängen. Da ferner die Kräfte E F und F A beständig aufeinander senkrecht stehen, so beschreibt der Punkt F, während c sich dreht, einen Kreis mit dem Durchmesser G H. Die Koordinaten des Punktes F in bezug auf das Achsenkreuz 0 sind aus Aehnlichkeitsgründen gleich σ₃ a und τ₃ a. Man sieht, daß σ₃ seinen größten und seinen kleinsten Wert erreicht, wenn F nach K bezw. L gelangt (Maximal- und Minimalspannung). Die Richtung des Schnittes c wird in diesem Falle durch G K bezw. G L bestimmt (Hauptschnitte). Die Spannung τ₃ wird für diese Schnitte gleich Null. Gelangt F nach M und N, so wird τ₃ ein Maximum bezw. ein Minimum. Die Schnittrichtungen G M und G N, für welche dies eintrifft, bilden mit den Hauptrichtungen Winkel von 45°.

Um die Richtungen der Hauptschnitte rasch zu finden, verfährt man nach Fig. 8: Man setzt a = 1, trägt von einem beliebigen Punkte O aus in einem beliebigen Maßstabe O P = τ₁ = τ₂, P G = σ₁, P G' = σ₂ auf und legt durch G und G' einen Halbkreis mit dem Mittelpunkte S; dann sind G K und G L die Richtungen der Hauptschnitte und O K und O L die Hauptspannungen. Bei dieser Zeichnung kann O außerhalb oder innerhalb des Halbkreises fallen. Im ersteren Falle haben die beiden Hauptspannungen gleiches Zeichen; im letzteren Falle haben die beiden Hauptspannungen ungleiches Zeichen.

Die Fig. 9–11 stellen drei Beispiele von Spannungskurven dar; sie sind nach dem durch Fig. 8 dargestellten Verfahren und auf Grund der nach den üblichen Festigkeitsformeln berechneten Spannung σ₁ σ₂ und τ gezeichnet worden. Fig. 9 zeigt die Kurven für einen einseitig eingespannten Blechbalken mit gleichförmig verteilter lotrechter Belastung, Fig. 10 für eine eingespannte Eisenbahnschiene, auf deren Endfläche eine schiefe Kraft wirkt, Fig. 11 für einen zylindrischen Stab, der an seinem Ende von einer Kraft zugleich auf Biegung, Abscheren und Drehung beansprucht wird. Selbstverständlich kann von den unendlich vielen Kurven stets nur eine beschränkte, beliebig herausgegriffene Zahl gezeichnet werden. – Die Spannungskurven kommen auch in der Natur vor, vor allem bei den Knochen der Säugetiere,[162] und zwar besonders deutlich bei den Hüftknochen. Zersägt man einen solchen Knochen, so zeigt sich, daß die Knochensubstanz im Innern den Spannungskurven entsprechend verteilt ist, d.h. in Fasern oder Schichten, die sich stets unter rechten Winkeln kreuzen. Andre Beispiele aus der Natur bilden die Gletscher mit ihren Spalten und blauen Bändern und die Euplectella in den ostasiatischen Gewässern.

Literatur: [1] Culmann, Graphische Statik, 2. Aufl., Zürich 1875. – [2] Wolff, Architektur der Knochen, Berlin 1870. – [3] Heim, Handbuch der Gletscherkunde, Stuttgart 1885. – [4] Ritter, Anwendungen der graphischen Statik, 1. Teil, Zürich 1888. – [5] Keller, C., Das Leben des Meeres, Leipzig 1895, S. 50.

(† W. Ritter) Mörsch.

Fig. 1., Fig. 2.

Fig. 3.

Fig. 4.

Fig. 5.

Fig. 6.

Fig. 7., Fig. 8.

Fig. 9.

Fig. 10.

Fig. 11.