Flächen [2]

Flächen zweiten Grades (vgl. a. Flächentheorie).

A. Eine Fläche zweiter Ordnung (Quadrifläche) hat die Gleichung a₁₁ x² + 2 a₁₂ x y + a₂₂ y² + 2 a₁₃ x z + 2 a₂₃ y z + a₃₃ z² + 2 a₁₄ x ω + 2 a₂₄ y ω + 2 a₃₄ z ω + a₄₄ ω² = 0 (wo ω die homogenisierende Veränderliche). Sie ist durch neun Punkte bestimmt. Die Polarebene eines beliebigen Punkts (Pols) (a, b, c, d) in bezug auf dieselbe ist:

a (a₁₁ x + a₁₂ y + a₁₃ z + a₁₄ ω) + b (a₁₂ x + a₂₂ y + a₂₃ z + a₂₄ ω) + c (a₁₃ x + a₂₃ y + a₃₃ z + a₃₄ ω) + d (a₁₄ x + a₂₄ y + a₃₄ z + a₄₄) = 0.

Auf jedem Strahl durch den Pol trennt dieser und die Polarebene die beiden Schnittpunkte mit der Fläche harmonisch. Die Polarebene eines Flächenpunkts in bezug auf die Fläche ist die Tangentialebene in demselben. Die Polarebenen aller Punkte einer Geraden gehen durch eine Gerade, die Polargerade der ersteren. Vier Punkte, von denen je drei auf der Polarebene des vierten liegen, bilden ein Polartetraeder. Je zwei Flächen zweiter Ordnung besitzen ein gemeinsames Polartetraeder. Der Pol der unendlich fernen Ebene heißt Mittelpunkt der Fläche; derselbe fällt ins Unendliche, wenn die Fläche die unendlich ferne Ebene berührt. Durch den Mittelpunkt gehen drei Ebenen (Hauptebenen), die auf den Richtungen nach ihren unendlich fernen Polen senkrecht stehen und die sich in den drei Hauptachsen schneiden (s. Durchmesser). Wird der Mittelpunkt zum Ursprung und die Hauptebenen zu Koordinatenebenen gemacht, so enthält die Flächengleichung nur quadratische Glieder. – Die Einteilung der Flächen zweiter Ordnung ist folgende:

Es sei

; A_ik die Unterdeterminante von a_ik in A; ferner φ₁ = a_ii (a_ii a_kk – a_ik²); φ₂ = a_ii; φ₃ = A₄₄ (a_ii a_kk – a_ik²); φ₄ = A · A₄₄ (wo i und k irgend welche der Zahlen 1, 2, 3 sind). Dann sind zu unterscheiden:

1. A 0. Eigentliche Flächen zweiter Ordnung.

a) A₄₄ 0. Mittelpunktsflächen:

Alle Größen φ haben gleiches Zeichen: imaginäres Ellipsoid x²/a² + y²/b₂ + z²/c² + 1 = 0.

Die Größen φ₁ φ₂ φ₃ haben gleiches, φ₄ entgegengesetztes Zeichen: reelles Ellipsoid x²/a² + y²/b²+ z²/c² = 1. Die Fläche wird von jeder Ebene in einer reellen oder imaginären Ellipse geschnitten; sie liegt ganz im Endlichen; a, b, c heißen Halbachsen.

Zwei der Größen φ sind positiv, zwei negativ: einmanteliges Hyperboloid x²/a³ + y²/b² – z²/c² = 1. Die Fläche wird von jeder Ebene in einer reellen Ellipse, einer Parabel oder einer Hyperbel geschnitten. Sie besteht nur aus einem einzigen, sich ins Unendliche erstreckenden Mantel und enthält zwei Scharen von reellen Geraden

Jede Schargerade schneidet alle Geraden der andern und keine der eignen Schar. Die Fläche ist der Ort einer Geraden, die immer drei Gerade schneidet; sie ist eine windschiefe Regelfläche.

Von den Größen φ₁ φ₂ φ₃ haben zwei dasselbe Vorzeichen wie φ₄, die dritte das entgegengesetzte: Zweimanteliges Hyperboloid x²/a² – y²/b² – z²/c² = 1. Die Fläche wird von jeder Ebene in einer reellen oder imaginären Ellipse, Parabel oder Hyperbel geschnitten. Sie enthält keine reellen Geraden und besteht aus zwei Mänteln, die im Unendlichen zusammenhängen.

b) A₄₄ = 0 Paraboloide. Der Mittelpunkt liegt im Unendlichen.

φ₁ und φ₂ haben gleiches Zeichen: elliptisches Paraboloid x²/a² + y²/b² = 2 z/c. Die Fläche wird von jeder Ebene in einer reellen oder imaginären Ellipse oder in einer Parabel geschnitten und erstreckt sich ins Unendliche. Sie enthält keine reellen Geraden.

φ₁ und φ₂ haben entgegengesetzte Vorzeichen: hyperbolisches Paraboloid x²/a² – y²/b² = 2z/c. Die Fläche wird von jeder Ebene in einer Parabel oder Hyperbel geschnitten;[67] sie ist sattelförmig und hat mit der unendlich fernen Ebene ein Geradenpaar gemein. Sie enthält zwei Scharen von Geraden

und ist der Ort einer Geraden, die immer zwei andre schneidet und zu einer gegebenen Ebene parallel bleibt.

2. A = 0; nicht alle ersten Unterdeterminanten A_ik von A verschwinden. Kegelflächen.

a) A₄₄ 0. Eigentliche Kegelflächen.

φ₁ φ₂ φ₃ haben gleiche Vorzeichen: imaginärer Kegel x²/a² + y²/b² + z²/c² + 1 = 0. Derselbe hat nur die Spitze als einzigen reellen Punkt.

φ₁ φ₂ φ₃ haben nicht gleiche Vorzeichen: reeller Kegel x²/a² + y²/b² + z²/c² + 1 = 0. Derselbe wird von jeder Ebene in einer reellen Ellipse, Parabel oder Hyperbel (oder einem Geradenpaar) geschnitten. Er erstreckt sich ins Unendliche, ist eine abwickelbare Regelfläche und enthält eine Schar von Geraden:

die alle durch die Spitze gehen.

b) A₄₄ = 0. Zylinderflächen.

φ₁ und φ₂ haben gleiche Vorzeichen: elliptischer Zylinder x²/a² + y²/b² = 1. Die Fläche wird von jeder Ebene in einer Ellipse (oder einem Parallelenpaar) geschnitten, erstreckt sich ins Unendliche und enthält eine Schar von parallelen Geraden:

φ₁ und φ₂ haben verschiedene Vorzeichen: hyperbolische Zylinder x²/a² – y²/b² = 1. Die Fläche wird von jeder Ebene in einer Hyperbel (oder in einem Parallelenpaar) geschnitten, erstreckt sich ins Unendliche und enthält eine Schar von Geraden:

φ₁ = φ₂ = 0. Parabolischer Zylinder x²/a² = 2 y/b. Die Fläche wird von jeder Ebene in einer Parabel (oder einem Parallelenpaar) geschnitten, erstreckt sich ins Unendliche und enthält eine Schar von Geraden:

3. A = 0; alle A_ik = 0, nicht alle Unterdeterminanten zweiter Ordnung verschwinden: Ebenenpaare.

φ₁ und φ₂ haben gleiches Vorzeichen: imaginäres Ebenenpaaar x²/a² + y²/b² = 0.

φ₁ und φ₂ haben entgegengesetztes Vorzeichen: reelles Ebenenpaar x²/a² – y²/b² = 0.

φ₁ = φ₂ = 0. Parallelebenenpaar x²/a² ± 1 = 0.

4. Alle Unterdeterminanten zweiter Ordnung verschwinden: Doppelebene x² = 0.

Zu den Flächen zweiter Ordnung gehören folgende Drehungsflächen:

Das Drehungsellipsoid x² + y²/a² + z²/c² = 1. Es entsteht durch Drehung einer Ellipse um eine Hauptachse und heißt abgeplattet (Sphäroid) oder verlängert, je nachdem ist.

Das einmantelige Drehungshyperboloid x² + y²/a² – z²/c² = 1 entsteht durch Drehung einer Hyperbel um die imaginäre Achse oder durch Drehung einer Geraden um eine zu ihr windschiefe Gerade.

Das zweimantelige Drehungshyperboloid x² + y²/a² – z²/c² + 1 = 0 entsteht durch Drehung einer Hyperbel um die reelle Achse.

Die Kugel x² + y² + z² = a².

Das Drehungsparaboloid x² + y²/a² = 2 z/c entsteht durch Drehung einer Parabel um ihre Achse.

Der Drehungskegel (gerade Kreiskegel) x² + y²/a² – z²/c² = 0 entsteht durch Drehung einer Geraden um eine sie schneidende Gerade.

Der Drehungszylinder (Kreiszylinder) x² + y²/a² = 1 entsteht durch Drehung einer Geraden um eine Parallele zu derselben.

[68] Kreisschnitte der Fläche zweiter Ordnung erhält man durch Ebenen parallel zu den Tangentialebenen in den Kreispunkten. Konfokal heißen zwei Flächen zweiter Ordnung x²/L + y²/M + z²/N = 1 und x²/L – P + y²/M – P + z²/N – P = 1. Alle zu einer gegebenen Fläche konfokalen Flächen bilden eine Schar, von der durch jeden Raumpunkt drei Flächen (ein Ellipsoid, ein einmanteliges und ein zweimanteliges Hyperboloid) hindurchgehen. Die Schnittkurve zweier Flächen zweiter Ordnung ist eine Raumkurve vierter Ordnung erster Spezies.

B. Flächen zweiter Klasse. Eine solche hat die Gleichung:

A₁₁ u² + 2A₁₂ uv + A₂₂ v² + 2A₁₃ u w + 2A₂₃ v w + A₃₃ w² + 2A₁₄ ut + 2A₂₄ vt + 2A₃₄ wt + A₄₄ t² = 0. Die Flächen zweiter Klasse sind mit denjenigen zweiter Ordnung identisch, wenn die Determinante

nicht verschwindet. Verschwindet A', so kommen folgende neue Gattungen hinzu:

a) A' = 0; nicht alle ersten Unterdeterminanten von A' verschwinden: Eigentlicher Kegelschnitt.

φ_1, φ_2, φ₃ haben gleiches Vorzeichen: imaginärer Kegelschnitt u²/a² + v²/b² + 1 = 0.

φ_1, φ_2, φ₃ haben nicht alle gleiche Vorzeichen: reeller Kegelschnitt.

1. ψ = (A₄₄ A_ii – Ai₄²) (A₄₄ A_kk – Ak₄²) – (A₄₄ A_ik – Ai₄ Ak₄)² (wo i, k irgend welche der Zahlen 1, 2, 3) positiv: Ellipse u²/a² + v²/b² = 1.

2. ψ negativ: Hyperbel u²/a² – v²/b² = 1. 3. A₄₄ = 0. Parabel u²/a² = 2 v/b.

b) A' = 0; alle ersten Unterdeterminanten von A', nicht aber alle zweiten verschwinden: Punktenpaare.

φ₁ und φ₂ haben gleiches Zeichen: imaginäres Punktepaar: u²/a² + v²/b² = 0.

φ₁ und φ₂ haben verschiedene Zeichen: reelles Punktepaar: u²/a² – v²/u² = 0.

c) A' = 0; alle zweiten Unterdeterminanten von A' verschwinden: Doppelpunkt u² = 0.

Literatur: [1] Salmon, Analytische Geometrie des Raums, deutsch von Fiedler, 1. Teil, 4. Aufl., Leipzig 1898. – [2] Clebsch, Vorlesungen über Geometrie, bearbeitet von Lindemann, Bd. 2, 1. Teil, Leipzig 1891, 2. Abt. – [3] Hesse, O., Vorlesungen über analytische Geometrie des Raumes, 3. Aufl., Leipzig 1876. – [4] Schröter, H., Theorie der Oberflächen zweiter Ordnung und der Raumkurven dritter Ordnung, Leipzig 1880. – [5] Weinmeister, J.P., Die Flächen zweiter Ordnung, Leipzig 1880–81, Bd. 1, 2. – [6] Simon, M., Die Flächen zweiter Ordnung, Leipzig 1901. – [7] Staude, Die Fokaleigenschaften der Flächen zweiter Ordnung, Leipzig 1896. – [8] Brockmann, Zur Theorie der Linienflächen zweiter Ordnung, Rostock 1904.

Wölffing.