Zylinderflächen

Zylinderflächen entstehen, wenn eine gerade Linie sich ohne Aenderung ihrer Richtung nach irgend einem Gesetz bewegt, z.B. so, daß sie fortwährend eine gegebene Kurve (Leitkurve, Leitlinie) trifft oder eine gegebene Fläche berührt.

Jede Lage der Erzeugenden wird eine Mantellinie genannt. Jede Zylinderfläche kann als Kegelfläche betrachtet werden, deren Spitze (in der Richtung der Mantellinien) unendlich fern liegt. Je zwei ebene Schnittkurven einer Zylinderfläche sind perspektiv-affine Figuren, deren Affinitätsachse die Schnittlinie der beiden Ebenen ist. Von parallelen Ebenen wird die Fläche in kongruenten Kurven geschnitten. Ebenen parallel zu den Mantellinien schneiden in Mantellinien. Die Tangentialebene in einem beliebigen Punkt berührt längs der durch diesen Punkt gehenden Mantellinie. Die Krümmungslinien bestehen in den Mantellinien und den Schnittkurven mit den zu den Mantellinien senkrechten Ebenen. Die eine der Hauptkrümmungen ist in jedem Punkt gleich Null. Die Zylinderflächen gehören zu den abwickelbaren Flächen. Bei der Abwicklung verwandeln sich die Mantellinien in parallele Gerade; jeder senkrechte Schnitt verwandelt sich in eine zu den Mantellinien senkrechte Gerade. Alle Zylinderflächen, deren Mantellinien die Richtungs-Cosinus l, m, n haben, genügen der partiellen Differentialgleichung

l ϑ z/ϑ x + m ϑ z/ϑ y – n = 0,

deren allgemeinste Lösung Φ (x – lz, x – mz) = 0 ist, wobei Φ eine willkürliche Funktion bezeichnet.

Mehmke.