Wellenbewegung

Wellenbewegung. Die Welle ist ein sich fortpflanzender Bewegungszustand eines in seinen einzelnen Teilchen beweglichen Körpers; allgemein nennt man Wellenbewegung die räumlich fortschreitende periodische Zustandsänderung eines Mittels.

Zur Ermöglichung einer Wellenbewegung in einem Mittel muß zwischen den Teilchen des Mittels ein derartiger Verband bestehen, daß die Zustandsänderung jedes einzelnen eine etwas spätere Zustandsänderung der Nachbarteilchen nach sich zieht. Ein solcher Verband kann entweder bloß durch innere, molekulare oder zugleich durch äußere Ursachen erzeugt sein. So ist es bei den Gleichgewichtsstörungen des Wassers die äußere Ursache der Schwere, welche den inneren Druck erzeugt, der die Uebertragung der Bewegung von Teilchen zu Teilchen vermittelt. Bei Saiten und Membranen ist es die von außen kommende Beanspruchung auf Zug, durch welche ein elastischer Verband der Teilchen hervorgerufen wird, der sie zur Wellenbewegung befähigt. Elastische, starre Körper aber befinden sich schon ohne äußere Einwirkung in der elastischen Verfassung, welche die periodischen Wechsel von Spannungs- und Bewegungsenergie von Teilchen zu Teilchen weiterleitet. – Indessen sind es nicht bloß Wechsel elastischer Spannungen und kinetischer Energie, welche sich in den Wellenbewegungen fortpflanzen; die sichtbaren Wasserwellen selbst, im Gegensatz zu Schallwellen im Wasser, bestehen in der periodischen Umwandlung potentieller Energie der Lage, nicht der Elastizität, in kinetische Energie und umgekehrt, indem jeder Zustand des gestörten Niveaus zur Ursache einer Bewegung und jede Bewegung durch die Gleichgewichtslage zur Ursache einer Niveaustörung wird. Nach unsern heutigen Anschauungen besteht das Licht und die strahlende Wärme in einem fortschreitenden Wechsel entgegengesetzter elektrischer und magnetischer Polarisationen der Teilchen eines Dielektrikums. Die auf einander senkrechten Richtungen sich gegenseitig induzierender Polarisationen stehen beide senkrecht zur Richtung der Fortpflanzung der elektromagnetischen Wellen. Von derselben Beschaffenheit sind die Wellen der drahtlosen Telegraphie.

Der anschaulichste Fall periodischer Energieverwandlung ist die geradlinig schwingende Bewegung einer kleinen Masse unter dem Einfluß einer elastischen Kraft, deren Größe der Entfernung des Masseteilchens aus seiner Gleichgewichtslage proportional ist. Der analytische Ausdruck einer solchen Bewegung ist

y = a sin 2 π (t : T),

1.

worin der jeweilige Abstand von der Gleichgewichtslage mit y, die veränderliche Zeit mit t bezeichnet ist, während die Konstante a den Maximalwert bezeichnet, welchen γ periodisch erreicht, die Hälfte der sogenannten Schwingungsamplitude, und T die Schwingungszeit, die Dauer der einzelnen Schwingungsperiode. Die Gleichung genügt der Differentialgleichung:

–d²y/dt² = 4π²/T² y,

2.

d.h. der Forderung, daß die Beschleunigung dem Abstande y proportional sei. – Wenn in einer Punktreihe, die im Zustande des Gleichgewichts sich in Richtung zunehmender Abszissen x erstrecken möge, jeder folgende Punkt die Bewegung des vorhergehenden vollführt, aber mit einer seiner Abszisse x proportionalen Verspätung x : c, so ist der analytische Ausdruck einer solchen Bewegung dargestellt durch die Gleichung:

y = a sin 2π (t : T – x : λ),

3.

worin λ = c T die sogenannte Wellenlänge, das Produkt aus Fortpflanzungsgeschwindigkeit c und Schwingungszeit T bezeichnet. Falls die periodisch veränderliche Abweichung y eines Punktes von der Gleichgewichtslage senkrecht gerichtet ist zur Richtung x der Fortpflanzung, so heißen die Schwingungen und die Wellen transversal, dagegen longitudinal, falls y der Fortpflanzungsrichtung parallel ist. Im letzteren Falle bestehen die Wellen eines Mittels aus abwechselnden[910] Verdichtungen und Verdünnungen, welche den Wellenbergen und Wellentälern der ersteren Bewegungsart entsprechen.

Die an der Grenze eines Mittels angelangte Wellenbewegung, soweit sie nicht in ein neues Mittel übertritt, erfährt dort entsprechend dem Reflexionsgesetz (s. Reflexion) eine Zurückwerfung. Durch die Reflexion eines Wellenzugs in sich selbst bilden sich sogenannte stehende Wellen, deren analytischen Ausdruck wir aus Gleichung 3 unter Anwendung des Grundsatzes der Superposition kleiner Bewegungen ableiten, indem wir für jeden Punkt seine Ausbiegung y als die Summe zweier Ausbiegungen betrachten, deren eine durch die hingehenden, deren andre durch die zurückkehrenden Wellen erzeugt wird. Verlegen wir z.B. den Anfang der Reihe in einen Punkt, worin sich die beiden Wellenzüge mit genau gleicher Schwingungsphase begegnen, so ergibt sich die Gleichung:

welche eine in stehenden Schwingungen begriffene Punktreihe darstellt. Zwischen den Punkten: x = 0, x = λ, x = 2 λ u.s.w., welche alle in gleichzeitig übereinstimmender Phase der Bewegung begriffen sind, alle mit der Schwingungsamplitude 4 a, liegen die Punkte x = λ : 2, x = 3 λ : 2, x = 5 λ : 2 u.s.w., mit derselben Schwingungsamplitude, aber mit genau entgegengesetzter Phase. Inmitten zwischen diesen abwechselnd entgegengesetzt schwingenden Punkten, den Schwingungsbäuchen, liegen in den Entfernungen x = λ : 4, x = 3 λ : 4, x = 5 λ u.s.w. Punkte, deren Schwingungsamplituden 2 a cos 2 π (x : λ) gleich Null sind, also unbewegte Punkte, die sogenannten Schwingungsknoten. Die stehende Welle, d. h der zwischen zwei Schwingungsknoten enthaltene Teil der Punktreihe, hat die Länge λ : 2, die Hälfte der Länge der fortschreitenden Welle.

Es sind zwei Arten der Wellenreflexion zu unterscheiden: die eine Art, wie z.B. die an einer Ufermauer reflektierten Wasserwellen, bildet den ersten Schwingungsknoten im Abstand X : 4 vom Ort der Reflexion, an welch letzterem sich ein Schwingungsbauch bildet, die andre Art, z.B. die Wellen eines mit dem einen Ende an der Wand beteiligten Seiles (Gummischlauches), dessen andres Ende von Hand in periodische Schwingungen versetzt wird, bilden den ersten Knoten im Reflexionsorte selbst. Für die Lichtwellen ist die eine Art die Reflexion am optisch dichteren, die andre die Reflexion am optisch dünneren Mittel. Der obenerwähnte Grundsatz der Superposition kleiner Bewegungen erklärt auch die Erscheinungen der Interferenz (s.d.) und der Beugung (s. Licht); er bildet den Inhalt des sogenannten Huyghensschen Prinzips [1], nach welchem jeder Punkt eines in Wellenbewegung begriffenen materiellen Systems durch seine Bewegung der Ursprung sogenannter Elementarwellen wird, aus deren Uebereinanderlagerung und Interferenz die tatsächlichen Wellen hervorgehen. Diesem nämlichen Grundlatz entsprechend lassen sich die verschiedensten Arten zyklisch sich wiederholender Vorgänge in der Natur, auch im Falle des Ineinandergreifens verschiedener Zyklen und deren Verbindung zu einem verwickelt und unregelmäßig erscheinenden Gesamtvorgang, in ihre Einzelbestandteile zerlegen. Das analytische Verfahren, welches mittels Fourierscher Reihen die Gesamterscheinung gleichsam in ihre einzelnen Wellen von der Gestalt der Gleichung 3. zerlegt, heißt harmonische Analyse; vgl. z.B. [2].

Soweit für ein in Wellenbewegung begriffenes Mittel die durch die Gleichung 2 ausgedrückte Bedingung erfüllt ist, ist die Fortpflanzungsgeschwindigkeit c von der Amplitude a und Länge λ bezw. Schwingungszeit T unabhängig. Das erstellt für longitudinale Elastizitätsschwingungen aus folgender Ueberlegung: Es sei aus dem in Wellenbewegung begriffenen Mittel ein in Richtung der Fortpflanzung sich erstreckender prismatischer Teil ins Auge gefaßt; der Querschnitt habe die Fläche Eins, ρ sei die Masse pro Längeneinheit. Zwei Querschnitten im Abstande d x = c d t (c Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Wellen, d t Zeitelement) kommen die Werte ρ und ρ – d ρ der Dichte, p und p – d p des Drucks, v und v – d v der Geschwindigkeit zu. Da nun die Beschleunigung d v : d t, welche auf die Masse ρ d x wirkt, durch die Druckdifferenz d p erzeugt wird, so ist d v : d t = d p : ρ d x. Da anderseits die Dichte infolge der Geschwindigkeitsdifferenz d v sich in der Zeit d t vermehrt um d ρ = ρ d v d t : d x, so folgt aus diesen zwei Gleichungen:

Diese Gleichung gibt z.B. die Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Schalls in Gasen, Flüssigkeiten und isotropen starren Körpern. Für atmosphärische Luft ist nach dem Gesetz der adiabatischen Zustandsänderung dp/dρ = p/ρ k, worin k das Verhältnis der beiden spezifischen Wärmen bei konstantem Druck und bei konstantem Volumen bezeichnet. Da c, p und ρ durch Beobachtung gefunden werden können, gibt die Gleichung 5 eines der bellen Mittel zur Bestimmung von k.

Für Flüssigkeiten ist d p : d ρ = g h : μ worin g die Beschleunigung der Schwere, h die Höhe einer Flüssigkeitssäule bezeichnet, die dem Druck der Flüssigkeit samt darauf lallender Atmosphäre das Gleichgewicht hält, und μ den sogenannten Kompressionskoeffizienten (s.d.), der für Wasser den Wert 0,000049 besitzt. – Nach den Versuchen von Colladon und Sturm, im Genfer See angestellt, stimmt der tatsächliche mit dem theoretischen Wert von 1438 m für das Wasser überein.

Für isotrope starre Körper, falls dieselben keinem äußeren Drucke unterliegen, nimmt der Quotient d p : d ρ den Weit e : ρ, Elastizitätsmodulus durch Dichte, an. – Ueber die Theorie elastischer longitudinaler Schwingungen, soweit dieselben mit Querschnittsänderung verbunden sind, sowie diejenige elastischer Querschwingungen isotroper Körper verweisen wir auf die Art. Elastische Schwingungen und Elastizitätslehre, allgemeine, woselbst auch die[911] Literatur für den gegenwärtigen Artikel nachzusehen ist. Für anisotrope Körper sei außerdem auf den Art. Licht, Abschnitt Doppelbrechung, verwiesen, sowie gegenüber einer neueren verfehlten Behandlung in [3] auf die ältere im Art. Elastische Schwingungen zitierte Theorie von Weyrauch Bd. 3, S. 381 ([9], § 101 und 102).

Wie oben erwähnt, bestehen die sichtbaren Wasserwellen nicht in Elastizitäts-, sondern in Gravitationsschwingungen. Für die Fortpflanzungsgeschwindigkeit c derselben ergibt die Theorie Gerstners und andrer (vgl. [4]) den Ausdruck:

worin h die Tiefe der Flüssigkeit, λ die Wellenlänge, g die Beschleunigung der Schwere, e und π die üblichen Bezeichnungen bekannter Irrationalzahlen darstellen. Bei großen Werten der Tiefe h im Vergleich mit λ ergibt sich c² = λ g : 2π, dagegen bei großem Werte von λ im Vergleich mit h wird c² = h g. Die letztere Gleichung gestattet, aus der gemessenen Fortpflanzungsgeschwindigkeit der durch Ereignisse wie das Erdbeben von Simoda (23. Dezember 1854) oder den Krakatauausbruch (27. August 1883) erzeugten Flutwellen mittlere Meerestiefen zu berechnen [5]. Nach diesem Gesetze der Wellenfortpflanzung erklärt sich auch die Erscheinung der Seiches, stehender Wasserwellen in Seen, welche an den Ufern, in sich selbst reflektiert, eine Periode von der Zeitdauer λ : c besitzen, wobei die Wellenlänge λ gleich der doppelten Seelänge ist. Nicht bloß das Wasser ist solcher Gravitationswellen fähig, sondern auch, unter notwendiger Mitwirkung der elastischen Reaktionen, die Atmosphäre und das Festland. So erklärt sich nach [6] die Bildung der Federwolken als regelmäßiges Aufeinanderfolgen von Verdichtungen und Verdünnungen feuchter Luft mit Kondensationen bei der Verdünnung. So sind nach [7]–[9] die Hauptwellen der Erdbeben Oberflächenwellen, welche sich mit etwa 4 km Geschwindigkeit der Oberfläche der Erde entlang ausbreiten, ohne in größere Tiefen zu dringen, während die sogenannten ersten und zweiten Vorläufer nach [8] durch das Innere der als vollständig starr angenommenen Erde verlaufende longitudinale und transversale Wellen sind, nach [9] ebensolche elastische Wellen durch eine Erdkruste von wenigen hundert Kilometer Dicke hindurch mit nach der Tiefe wachsenden Fortpflanzungsgeschwindigkeiten, denen bei [8] über der Tiefe von ¹/₅ Erdradius hinaus wieder abnehmende Werte zugeschrieben werden müssen.

Literatur: [1] Vgl. darüber Wüllner, Lehrbuch der Experimentalphysik, Bd. 1, S. 728, 5. Aufl., Leipzig 1895, und Helmholtz, H. v., Vorlesungen über theoretische Physik, herausgegeben von König u. Runge, Bd. 5, S. 131 ff. – [2] Börgen, Die harmonische Analyse der Gezeitenbeobachtungen, Annalen der Hydrographie, 12. Jahrg., 1884. – [3] Rudzki, Beitr. zur Geophysik von Gerland, 3 und 4, S. 519–540, 1898. – [4] Wüllner, Bd. 1, S. 821. – [5] Hann, Die Erde als Ganzes, ihre Atmosphäre und Hydrosphäre, S. 304, 5. Aufl., Prag, Wien, Leipzig 1896. – [6] Helmholtz, H. v., Ueber atmosphärische Bewegungen, wissenschaftl. Abhandl. 111, S. 309–332, Leipzig 1895. – [7] Lord Rayleigh, London Math. Soc. Proc, Bd. 17 (1887). – [8] Wiechert, E., und Zoeppritz, K., Ueber Erdbebenwellen, Göttinger Nachr. 1907. – [9] Schmidt, A., Einiges aus der Erdbebenkunde, Jahresh. d. Ver. s. vaterl. Naturk. in Württ., 1909, Bd. LXVII.

Aug. Schmidt.