Sicherheitsfunktion

Sicherheitsfunktion des Gleichgewichts. Wenn ein unveränderliches Massenpunktsystem (starrer Körper) von Kräften angegriffen wird, so kann dasselbe[97] im allgemeinen in eine oder mehrere Lagen gelangen, in welchen die Kräfte im Gleichgewicht sind. Diese Gleichgewichtslagen haben verschiedenen Charakter. Entfernt sich das System aus einer solchen unendlich wenig und treiben die dadurch im Gleichgewicht gestörten Kräfte dasselbe in die Gleichgewichtslage zurück oder verhindern es wenigstens, sich weiter aus derselben zu entfernen, so heißen die Gleichgewichtslage und das Gleichgewicht der Kräfte stabil; im Falle aber, daß die Kräfte das System weiter aus der Gleichgewichtslage entfernen, heißen sie und das Gleichgewicht labil.

Im Artikel »Gleichgewicht« (Bd. 4, S. 559) ist bereits ausgeführt, daß die Kriterien für das stabile Gleichgewicht mit jenen für das Minimum des Potentials der wirkenden Kräfte zusammenfallen. In dem Falle aber, daß die Kräfte nach Intensität und Richtung unveränderlich sind, geben einfachere Prinzipien die Entscheidung. In diesem Falle wird nämlich die Wirkung der Kräfte durch die Störung des Gleichgewichts äquivalent einem Kräftepaar, da die Resultante auch nach der Störung noch Null bleibt. Die Sicherheitsfunktion ist nun eine solche Funktion der wirkenden Kräfte, ihrer Angriffspunkte und der Bestimmungsstücke der Störung der Gleichgewichtslage, deren Vorzeichen die Art des Gleichgewichtes angibt.

Eine Parallelverschiebung des Körpers stört bei konstanten Kräften niemals das Gleichgewicht, nur eine Drehung; dabei kommt es auch nur auf die Richtung, nicht auf die Lage der Drehachse an. Bei ebenen Systemen (die in ihrer Ebene verbleiben) steht letztere immer senkrecht zur Ebene, und es geht daher in die Sicherheitsfunktion gar kein Element der Störung der Gleichgewichtslage ein. Wir können uns hierbei die im Gleichgewicht befindlichen Kräfte in Paare von sich gegenseitig aufhebenden Kräften, die in ihren ursprünglichen Angriffspunkten angreifen, zerlegt denken.

Sind P₁, P₂ die entgegengesetzt gleichen Kräfte eines Paares und A₁, A₂ ihre Angriffspunkte, so ist das Moment des Paares, in welches die sich Gleichgewicht haltenden Kräfte übergehen, – P₂ · A₁ A₂ sin φ, wenn φ die Amplitude der Drehung um eine zur Ebene des Paares senkrechte Achse ist. Ist dies Moment negativ, so ist das Gleichgewicht stabil; ist es positiv, so ist es labil. Ist das System ein ebenes, so wird in bezug auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem der x, y, wenn X, Y die Komponenten der Kräfte darstellen, dies Moment dargestellt durch – sin φ Σ (x X + y Y). Die Größe P₂ · A₁ A₂ = – Σ (x X + y Y) ist die Sicherheitsfunktion des ebenen Gleichgewichtes und wurde zuerst von Möbius in die Untersuchung eingeführt. Man kann sie als das »Virial« des Kräftesystems bezeichnen. Allgemeiner ist das Virial für ein räumliches System – Σ (x X + y Y + z Z). Es ist dies jedoch nicht die Sicherheitsfunktion des räumlichen Systems. Wenn in bezug auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem α, β, γ die Richtungswinkel einer Achse gegen das Koordinatensystem sind und die in Astatik, Bd. 1, S. 324, vorkommenden Größen a₁₁ = Σ x X, a₂₂ = Σ y Y, a₃₃ = Σ z Z, a₁₂ = Σ x Y, a₁₃ = Σ x Z, a₂₁ = Σ y X, a₃₁ = Σ z X, a₂₂ = Σ y Z, a₃₂ = Σ z Y verwandt werden, so ist diese Sicherheitsfunktion des Gleichgewichts

S = a₁₁ cos² α + a₂₂ cos² β + a₃₃ cos² γ + 2 a₁₂ cos α cos β + 2 a₂₃ cos β cos γ + 2 a₃₁ cos γ cos α – (a₁₁ + a₂₂ + a₃₃).

Achsen (α β γ), für welche diese Funktion negativ ist, haben die Eigenschaft, daß für Rotationen um sie das Gleichgewicht des Kräftesystems stabil ist; Achsen, für welche sie positiv ist, sind Achsen des labilen Gleichgewichts.

Literatur: Möbius, Lehrbuch der Statik, Leipzig 1837 (oder Gesammelte Werke, Bd. 4), Bd. 1, Kap. 9 u. 10; Schweins, Fliehelemente oder die Summe Σ (x X + y Y) bei Kräften in der Ebene und Σ (x X + y Y + z Z) bei Kräften im Räume, Crelles Journal, Bd. 38, S. 77–88; Schell, Theorie der Bewegung und der Kräfte, 2. Aufl., Leipzig 1879, Bd. 2, Kap. 12, S. 266–279.

(† Schell) Finsterwalder.