Potential [1]

Potential ist eine Funktion V (x, y, z) des Ortes, d.h. der Koordinaten xyz eines Punktes P, deren partielle Differentialquotienten nach den Koordinaten

die Komponenten einer gerichteten Größe (Kraft, Geschwindigkeit), die diesem Punkt P (Aufpunkt) zugewiesen ist, geben (s. Kräftefunktion). Die wichtigsten Potentiale sind das Potential einer nach dem Newtonschen Anziehungsgesetz wirkenden Kraft und der zu der stationären Strömung einer unzusammendrückbaren Flüssigkeit gehörigen Geschwindigkeit. Beide stehen in engstem Zusammenhang miteinander; sie werden durch ähnliche Formeln ausgedrückt und können zur gegenseitigen Veranschaulichung dienen.

Betrachten wir zuerst eine im Punkt M (ξ, η, ζ) gelegene punktförmige Masse m, so ist deren Wirkung auf eine im Aufpunkte P befindliche Masse »Eins« durch die in der Verbindungslinie MP wirkende Kraft –m f/r², wo f eine von den gewählten Einheiten abhängige Konstante bedeutet. Die Komponenten dieser Kraft sind

Sie können durch Differentiation nach xyz aus dem Ausdruck

ist, hergeleitet werden. Unter Weglassung des konstanten Faktors f bezeichnet man daher mit V = –m/r das Potential der Masse M in bezug auf den Aufpunkt P Liegt eine Anzahl von m Massenpunkten vor, so ist ihr Potential V = – Σ m/r, welcher Ausdruck in

übergeht, wenn die Massen stetig im Raum verteilt sind. Je nach der Art dieser Verteilung, ob räumlich, flächenhaft oder linienförmig, ist das auf die Koordinaten ξ, η, ζ bezügliche Integral dreifach, zweifach oder einfach. Würde statt der anziehenden Kraft eine abstoßende, nach dem umgekehrten Quadrat der Entfernung wirkende Kraft auftreten, so hätte man die betreffenden Massen m bezw. dm mit negativem Vorzeichen einzuführen. Stets sind dann

(abgesehen von f) die Komponenten der resultierenden Kraft R und diese selbst berechnet sich aus

mit den Richtungskosinus R cos a = X, R cos ß = Y, R cos y = Z. Die Kraft R steht senkrecht auf der durch den Aufpunkt P gehenden Niveaufläche von der Gleichung V = const, die den Inbegriff der Punkte des Raumes ausmacht, für die V den gleichen Wert wie in P hat. Projiziert man die Kraft R auf die Richtung des Linienelementes ds mit den Koordinatenunterschieden dx, dy, dz, so wird die Größe der Projektion

also gleich dem Grenzwert der Potentialdifferenz an den Enden des Linienelementes dividiert durch die Länge desselben.

Wenden wir uns nun zur stationären Strömung einer den Raum erfüllenden, unzusammendrückbaren Flüssigkeit, die davon herrühren soll, daß im Punkte M (ξ, η, ζ) dauernd Flüssigkeit in der Menge Q für die Zeiteinheit gerechnet in den schon von Flüssigkeit erfüllten Raum einströmt. Es wird dann in der Entfernung r von M im Punkte P eine Geschwindigkeit v herrschen, so daß 4 r² π v = Q ist (4 r² π Oberfläche der Kugel vom Radius r, v die dazu senkrechte Geschwindigkeit, Q die abgeführte Flüssigkeitsmenge). Die Komponenten v₁, v₂, v₃ von v sind

und auch sie können durch partielle Differentiation aus einem Potential, dem Geschwindigkeitspotential V = Q/4πr abgeleitet werden, das einem Kraftpotential von der Masse m = – Q/4π entspricht. Negativen (abstoßenden) Massen entsprechen dann Raumpunkte M, denen dauernd eine bestimmte Flüssigkeitsmenge entzogen wird (Quellen mit positivem Q, Senken mit negativem Q). Denkt man sich nun im Raum eine Anzahl von Quellen verteilt, so entsteht ein Geschwindigkeitspotential V = Σ Q/4πr, dessen Differentialquotienten die Geschwindigkeitskomponenten der den verschiedenen Quellen und Senken entsprechenden Gesamtströmung der Flüssigkeit ergeben. Sind die Quellen und Senken stetig im Raum verteilt, so wird das Geschwindigkeitspotential durch Integration über den von Quellen oder Senken erfüllten Raum gefunden:

[195] d Q ist dabei die in ein Räumelement dτ sekundlich eingeführte Flüssigkeitsmenge. Setzt man d Q = q d τ, so ist q ein Analogon zur Dichte einer Massen Verteilung und heißt Divergenz der Strömung; sie ist überall Null, wo Flüssigkeit von außen her in den Raum weder zu- noch abgeführt wird. Es besteht die Beziehung d Q = q d τ = – 4 π d m = – 4 π ρ d τ, wo ρ die Dichte der entsprechenden Massenverteilung ist, daher q = – 4 π ρ. Beim Kraftpotential heißen die Kurven, deren Richtung in jedem Raumpunkte die Kraftrichtung angibt, Kraftlinien, beim Geschwindigkeitspotential die analogen Kurven in Richtung der Strömungsgeschwindigkeit Strömungslinien. Erstere gehen von den Massenpunkten aus und verbinden positive und negative Massen miteinander, letztere gehen von den Quellen aus und verlaufen gegen die Senken zu. Beide stehen senkrecht zu den Niveauflächen und genügen dem Gleichungssystem

Legt man durch die Punkte einer unendlich kleinen geschlossenen Kurve Kraft- oder Strömungslinien, so entsteht ein röhrenförmiges Gebilde (Kraft- oder Stromröhre). In dem Teil des Raumes, der keine Massen enthält bezw. keine Flüssigkeit von außen zugeführt erhält, strömt durch alle Querschnitte der Röhre die gleiche Flüssigkeitsmenge. Die Röhre beginnt an einer Quelle (positiven Masse) und endet an einer Senke (negativen Masse). Das konstante Produkt aus Strömungsgeschwindigkeit (Kraft) mal Röhrenquerschnitt heißt Ergiebigkeit (Intensität) der Röhre. Man denkt sich den quellen (massen-) freien Raum in Röhren von gleicher Ergiebigkeit zerlegt und bemißt die durch eine geschlossene Kurve gehende (Kraft-) Strömung nach der Zahl der durch sie hindurchgehenden Röhren von der Ergiebigkeit Eins, die ein für allemal definiert wird (Kraft-, Stromlinienzahl). Von größter Bedeutung für die Potentialtheorie ist der Laplacesche Ausdruck

Wird dieser mit dem Raumelement d_x d_y d_z multipliziert, so gibt er die infolge der Strömung durch die Wandungen des Raumelementes sekundlich mehr aus- als eintretende Flüssigkeitsmenge. An den Stellen, wo keine Quellen vorhanden sind, ist er notwendig Null; für diese gilt demnach die Laplacesche Differentialgleichung des Potentials

Beim Kraftpotential gilt sie für jene Stellen des Raumes, wo keine Massen vorkommen. An den Stellen, wo Quellen vorhanden sind, ist der mit dx dy dz multiplizierte Ausdruck Δ V gleich der Ergiebigkeit der Quellen im Raumelement, also gleich q dx dy dz, woraus die Gleichung folgt

oder für das Kraftpotential, für das q = – 4 π ρ zu setzen ist

Gleichung von Poisson.

Beispiel: Potential einer Hohlkugel von konstanter Dichte. Diese sei von konzentrischen Kugeln von den Radien a und b begrenzt. Führen wir räumliche Polarkoordinaten u, ϑ φ um den gemeinsamen Mittelpunkt 0 ein, deren Polarachse OP ist (s. Fig. 1), so wird

wobei r² = u² + x² – 2 u x cos ϑ wird, also r d r = x u sin ϑ d ϑ ist, und wenn man u konstant setzt, erhält man

Jetzt sind drei Fälle zu unterscheiden, je nachdem P außerhalb der Kugel, in der Wandung derselben oder im inneren Hohlraum gelegen ist. Im ersten Falle sind die Integrationsgrenzen für r x – u und x + u, und es wird

wenn m die Gesamtmasse der Hohlkugel bedeutet. In dem äußeren Räume wirkt daher die Hohlkugel genau wie eine im Mittelpunkt konzentrierte Masse von gleicher Größe. Im dritten Falle, wo der Aufpunkt im inneren Hohlraum gelegen ist, sind die Integrationsgrenzen für r u – x und u + x. Es wird dann

, also ganz unabhängig von a der Lage des Aufpunktes im Hohlraum, in dem dann keinerlei anziehende Kraft mehr wirkt. Im zweiten Fall, wo der Aufpunkt in der Wandung liegt, zerlegt man die Massen durch eine Kugel vom Radius x in zwei Teile; der innere Teil hat das Potential

der äußere

wird.

[196] Fig. 2 gibt den Verlauf von V, δV/δx (wirkende Kraft) und δ² V/δ x² als Funktion von x an. Erstere verläuft beim Uebergang in den mit Masse erfüllten Raum noch stetig, δV/δx zeigt bereits einen Knick, δ² V/δx² aber einen Sprung. Diese Verhältnisse sind typisch für das Verhalten eines Potentials und seiner Differentialquotienten an der Grenze der Massenerfüllung (Fig. 1).

Mittels des Poissonschen Satzes Δ V = – 4 π ρ kann man die Dichte einer sonst nicht faßbaren Masse (z.B. elektrischer Massen) aus ihrer Kräfteäußerung bestimmen. Hat man z.B. elektrische Massen in einem isolierten Leiter im Gleichgewicht, so darf von den elektrischen Massen auf keinen Punkt des Innern des Leiters eine resultierende Kraft ausgeübt werden, da sich sonst die dort vorhandene Elektrizität bewegen würde; es muß also dort überall

sein. Daraus folgt aber alsbald Δ V = 0 und dann ρ = 0, so daß im Innern des Leiters überhaupt keine Elektrizität vorhanden ist, sondern diese auf die Grenzfläche gegen den Isolator gedrängt wird. Für die so entstehenden flächenhaften Massenverteilungen ist das Potential

wo dw das Flächenelement, ρ die Flächendichte, d.h. die auf die Flächeneinheit gerechnete Masse bedeutet. Für diese Potentiale einer Flächenbelegung besteht bereits beim Durchgang des Aufpunktes durch die mit Masse belegte Fläche ein Knick in den Potentialwerten und ein Sprung in den ersten Differentialquotienten. Es besteht dabei die Beziehung

den Differentialquotienten des Potentials in demselben Punkt der belegten Fläche aber nach verschiedenen Richtungen der Flächennormalen und ρ die Flächendichte bezeichnen.

Einen für die gesamten Anwendungen des Potentials wichtigen Satz hat Green schon 1828 aufgestellt. Dieser Satz ist zunächst rein analytischer Natur und bezieht sich auf zwei Funktionen U und V der Koordinaten, deren erste und zweite Differentialquotienten stetig vorausgesetzt werden. Er lautet:

Die dreifachen Integrale beziehen sich dabei auf einen begrenzten Raum und das Doppelintegral auf die begrenzende Oberfläche, deren Element dw ist. δV/δx ist der Differentialquotient nach der inneren Normale dieser Oberfläche und

Vertauscht man in dem Satze U und V und subtrahiert man die neue Formel von der ursprünglichen, so erhält der Greensche Satz die Gestalt

und dient zur Ueberführung eines Raumintegrals in ein Flächenintegral. Setzt man speziell U = 1, also δU/δn = 0 und ΔU = 0, so erhält man den Gaußschen Satz

der unter der Voraussetzung eines Geschwindigkeitspotentials eine einfache Deutung zuläßt. Das dreifache Integral über die Divergenz gibt die dem Raum in den einzelnen Volumelementen von außen sekundlich zugeführte Flüssigkeitsmenge, das negative Doppelintegral die durch die begrenzende Oberfläche abgeführte Flüssigkeitsmenge. Die Summe beider ist im stationären Zustande Null. Auf eine Strom-(Kraft-) röhre, die durch quellen- bezw. masseerfüllten Raum läuft, angewendet, sagt der Satz aus, daß die Differenz der Ergiebigkeit der Röhre (Produkt aus Querschnitt mal Geschwindigkeit bezw. Kraft) an zwei Querschnitten gleich der Summe der zwischen den Querschnitten innerhalb der Röhre befindlichen Quellen bezw. Massen ist.

Potential eines magnetischen Moleküles, eines Magneten und einer magnetischen Schale (Doppelschicht). Das Potential zweier nebeneinander liegender Massen ± m von gleicher Größe, aber entgegengesetztem Vorzeichen ist

Wird die kleine Entfernung (Fig. 2) der Massen mit l und der Winkel, den sie mit r₂ einschließt, mit α bezeichnet, so ergibt sich r₂ – r₁ = l cos α und φ = lm/r₁r₂ cos a. Läßt man nun l gegen Null abnehmen und m gleichzeitig so wachsen, daß l m = μ endlich bleibt, so wird r₁ = r₂ = r, und man hat φ = μ/r₂ cos α. Die Größe, μ bezeichnet man als Moment des Moleküles, und man faßt sie als gerichtete Größe auf, indem man ihr die Richtung der Verbindungslinie + m, – m zuteilt. μx, μy, μz seien ihre Komponenten nach den Koordinatenachsen; ist dann ξ, η, ζ der Ort des Moleküles, so wird dessen Potential

[197] Ist ein Raum mit magnetischen Molekülen von veränderlichem Moment erfüllt, so seien nun μx dξ dη dζ, μy dξ dη dζ, μz dξ dη dζ die Komponenten des Momentes der im Raumelement dξ dη dζ enthaltenen Moleküle, dann gibt das dreifache Integral

das Potential dieses Magneten. Werden die magnetischen Moleküle über eine Fläche ausgebreitet und ihre Achsen überall senkrecht zu der Fläche gerichtet, so entsteht eine magnetische Doppelschicht. Ihr Potential wird

wo μ das magnetische Moment und ϑ der Winkel zwischen der Normalen und der Richtung zum Aufpunkt ist. Setzt man cos ϑ/r² df = df₁, so stellt df₁ das auf eine Kugel vom Radius Eins um den Aufpunkt projizierte Flächenelement d f dar. Ist μ konstant, so wird das Potential einer solchen homogenen berandeten Doppelschicht gleich μ mal dem Flächeninhalt der Projektion der Doppelschicht auf eine um den Aufpunkt geschlagene Kugel vom Radius Eins.

Potential zweier Massensysteme; Selbstpotential. Vom Potential eines Massensystems M kann man zu dem Potential zweier Massensysteme M, M' in der Weise übergehen, daß man den Aufpunkt des Massensystems M der Reihe nach mit den Massenpunkten des Systems M' zusammenfallen läßt, das jeweilige Potential von M mit der Masse des betreffenden Punktes von M.' multipliziert und sämtliche Produkte addiert. Die entstehende Doppelsumme Σ Σ m m'/r, wo r die Entfernung zweier Massen beiderlei Systeme ist, heißt das gegenseitige Potential der beiden Massensysteme aufeinander. In ähnlicher Weise kann man auch das Potential eines Massensystems M auf sich selbst bilden, wobei nur der Faktor ¹/₂ vor die Doppelsumme tritt. Die Bedeutung dieser Potentiale beruht darin, daß ihre Aenderung bei Aenderung der Stellung der Massensysteme gegeneinander oder eines Massensystems in sich selbst den hierzu nötigen Arbeitsaufwand darstellt.

Logarithmisches Potential. Der für den Raum gültigen Potentialtheorie der Kräfte, die nach dem umgekehrten Quadrat der Entfernung wirken, läßt sich eine auf die Ebene bezügliche an die Seite stellen, bei der die Wirkung der Kräfte umgekehrt proportional der Entfernung selbst, also f m/r angenommen werden. Zu solchen Kräften gehört ein logarithmisches Potential

wobei das Zeichen l den natürlichen Logarithmus bedeutet. C. Neumann hat die Analogien dieses logarithmischen Potentials mit dem Newtonschen entwickelt. Seine Hauptanwendung findet es in der Theorie der Funktionen einer komplexen Variabeln.

Wirbelfelder. Die Kraftverteilungen, die von einem Potential ableitbar sind, haben die Eigenschaft, daß die Elementararbeit d A der Kraft X V Z bei Verschiebung des Aufpunktes um dx dy dz gleich der Potentialdifferenz, also

ist. Hieraus folgt alsbald, daß die Arbeit für einen endlichen Weg des Aufpunktes gleich der Potentialdifferenz an den Enden des Weges und für einen geschlossenen Weg gleich Null ist. Es finden ferner die Gleichungen

statt. Für eine allgemeine Kraftverteilung, die nicht von einem Potential ableitbar ist, sind die Größen

nicht gleich Null und werden als Komponenten einer dem Aufpunkt zugeteilten gerichteten Größe (W) aufgefaßt, die Wirbel, Curl (Maxwell) oder Rotation der Kraft- oder Geschwindigkeitsverteilung heißt. Bei dieser Verteilung ist die Arbeit für einen geschlossenen Weg des Aufpunktes nicht gleich Null; sie kann jedoch für einen unendlich kleinen geschlossenen Weg, der eine Fläche df umschließt, leicht mittels der Größe W ausgedrückt werden. Es ist nämlich (wie hier nicht bewiesen werden soll) d A = d f W cos ϑ, wo ϑ den Winkel zwischen der Richtung von W und der zu dem Umlaufsinn von df gehörigen positiven Normalenrichtung von df bedeutet (Fig. 3). Damit läßt sich die Arbeit A bei einem endlichen geschlossenen Weg des Aufpunktes ausdrücken. Man legt durch diesen Weg eine beliebige zusammenhängende Fläche (Fig. 4), die von ihm berandet wird, und teilt diese in unendlich kleine Elemente df, auf deren Begrenzung man den Umlaufsinn des Aufpunktes überträgt. Nun ist die Arbeit des Aufpunktes über die Berandung der Fläche gleich der Summe der Arbeiten über die Begrenzungen der Flächenelemente ds. Da nämlich alle inneren Begrenzungslinien doppelt im entgegengesetzten[198] Sinn durchlaufen werden, so heben sich die zugehörigen Arbeiten auf, und es bleiben nur jene für die Randkurve übrig. In Formeln umgesetzt liefert diese Betrachtung den Satz von Stockes A = ∫ (Xdx + Ydy + Zdz) = ∫∫ (W d f cos ϑ) = ∫∫ (W₁ dy dz + W₂ dz dx + W₃ dx dy), wobei sich das einfache Integral auf die Berandung, das Doppelintegral auf die Oberfläche der berandeten Fläche bezieht.

Das Vektorpotential. In einer Kraft-(Geschwindigkeits-)Verteilung, die nicht von einem Potential ableitbar ist, demnach auch nicht bloß von anziehenden und abstoßenden Massen herrührt, gehört zu jedem Punkt eine gerichtete Größe der Wirbel. Diese Wirbel kann man nun wieder wie eine Kraftverteilung behandeln und Linien ziehen, die überall der Richtung des Wirbels folgen und daher Wirbellinien heißen. Ihre Differentialgleichungen sind

Faßt man die Wirbelverteilung als Geschwindigkeitsverteilung auf, so hat die zugehörige Strömung, wie aus dem Stockesschen Satz geschlossen wird, weder Quellen noch Senken, sondern überall die Divergenz Null. Die Wirbellinien laufen daher (im Gegensatz zu den Kraftlinien) immer in sich selbst zurück und sind geschlossen. Die aus ihnen gebildeten Wirbelröhren haben längs der ganzen Erstreckung konstantes Moment (gleich Produkt aus Querschnitt mal W). Man kann nun versuchen, eine gegebene Kraftverteilung als Wirbelverteilung einer neuen Kraftverteilung U₁ U₂ U₃ aufzufassen, was allerdings nur dann geht, wenn die gegebene Kraftverteilung ohne Quellen und Senken ist. Die neue Kraftverteilung heißt dann Vektorpotential der gegebenen, und es besteht der Zusammenhang

Sind noch Quellen und Senken bezw. anrichtende Massen vorhanden, so tritt zu dem Vektorpotential noch ein gewöhnliches, von den Massen herrührendes Potential V, und es wird

Sowie das Potential V als Integral über die Massen

so lassen sich die Komponenten des Vektorpotentials als Integrale über die Wirbel der gegebenen Kraftverteilung schreiben wie folgt:

Ist der Wirbel auf eine einzige Röhre von verschwindendem Querschnitt beschränkt, wie z.B. in einem geschlossenen drahtförmigen Stromleiter, so gehen die dreifachen Integrale in einfache, längs der Achse des Leiters erstreckte Integrale über, und die Komponenten des Vektorpotentials einer Strombahn werden

wobei J die Stromstärke (gleich Moment der Wirbelröhre) bedeutet. Ist ein zweiter Leiter mit der Stromstärke J' vorhanden und sind die Koordinaten eines Punktes desselben ξ' η' ζ', so kann man aus beiden Leitern das elektrodynamische Potential zweier Ströme ableiten

wo sich das Doppelintegral auf die Elemente beider Strombahnen erstreckt und r den Abstand zweier solcher Elemente bedeutet. Das Doppelintegral für sich heißt der wechselseitige Induktionskoeffizient beider Leiter. Es kann als die Flüssigkeitsmenge gedeutet werden, die ein Wirbel von der Intensität Eins, der in der einen Strombahn wirkt, sekundlich durch den Umkreis der andern hindurchschickt. Aus der Aenderung des elektrodynamischen Potentials bei Verschiebung der Strombahnen gegeneinander ergibt sich die hierzu nötige Arbeit und damit die ponderomotorische Wirkung der Strombahnen aufeinander.

Literatur: [1] Lagrange, Remarques générales sur le mouvement de plusieurs corps, qui s'attirent en raison inverse des carrés des distances. Nouveaux mém. de l'Académie de Berlin, 1773 und 1777. – [2] Laplace, Théorie des attractions des sphéroides. Mém. de l'Académie des sciences 1782 und Mécanique céleste, III, 1. Kap. – [3] Gauß, Theoria attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum methodo nova tractata. Comentt. Goetting. recent., Bd. 2 (1813), oder Werke, Bd. 5, S. 1 und 279. – [4] Allgemeine Lehrsätze über die im umgekehrten Quadrat der Entfernung wirkenden Kräfte, Bd. 5, auch in Ostwalds Klassiker der exakt. Wissenschaften abgedruckt, Nr. 2. – [5] Green, An Essay on the application of math. analysis to the theory of electricity, Nottingham 1828, oder Crelle, Journ. für reine und angewandte Mathematik, Bd. 39, 44 und 47. – [6] Charles, Mém. sur l'attraction des ellipsoides, Journ. de l'école polyt, Heft XXV, S. 244 (1837), und Comptes rendus de l'Académie des sciences, Bd. 6, S. 902 (1838); Nouvelle solution etc., Journ. de math. par Liouville, Bd. 5 (1840). – [7] Dirichlet, Ueber eine neue Methode zur Bestimmung vielfacher Integrale, Akademie der Wissenschaften zu Berlin 1839, und Vorlesungen über die im umgekehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Kräfte, herausgegeben von Grube, Leipzig 1876. – [8] Clausius, Die Potentialfunktion und das Potential, 4. Aufl., Leipzig 1885. – [9] Schell, Theorie der Bewegung und der Kräfte, 2. Aufl., Leipzig 1879, Bd. 2, 13. Kap. – [10] Matthieu, Théorie du potentiel et de ses applications à l'électrostatique et au magnetisme, Bd. 1, 2, Paris 1885. – [11] Budde, Allgem. Mechanik der Punkte und starren Systeme, Berlin 1890, Bd. 1, S. 354, und Bd. 2, S. 442–500. – [12] Routh, A treatise on analytical Statics, Bd. 2, S. 1–126. – [13] Neumann, C., Untersuchungen über das logarithmische und Newtonsche Potential, Leipzig 1877, sowie Beiträge zu einzelnen Teilen der[199] mathematischen Physik, Leipzig 1893. – [14] Föppl, Geometrie der Wirbelfelder, Leipzig 1897. – [15] Gibbs, Vector Analysis, New York 1901. – [16] Korn, A., Lehrbuch der Potentialtheorie, Berlin 1899, und Fünf Abhandlungen zur Potentialtheorie, Berlin 1902.

Finsterwalder.

Fig. 1.

Fig. 2.

Fig. 3.

Fig. 4.