Auflager [1]

Auflager einer Brücke oder sonstigen Ingenieurkonstruktion (s.a. Auflager der eisernen Brücken) heißen diejenigen Vorrichtungen, bei denen die Konstruktion auf den Stützen (Pfeilern, Widerlagern) ruht. Bei Anordnung und Unterhaltung solcher Auflager ist die Sicherheit und Zweckmäßigkeit der Konstruktion maßgebend. Insbesondere kommt es darauf an, daß die bei der Berechnung der letzteren gemachten Voraussetzungen betreffend Angriffspunkt, Richtung und Verteilung des Auflagerdrucks soweit als möglich erfüllt werden. Für die meisten Balkenträger und Bogenträger (vgl. Balken, Bogen) beispielsweise wird vorausgesetzt, daß die Enden frei drehbar sind, so daß keine Endmomente entliehen (Hauptträger von Balkenbrücken, Bogen mit zwei und drei Gelenken). Dies sucht man unter anderm zu erreichen durch entsprechend bearbeitete und mitunter selbst geschmierte Gelenkstücke von zulässig kleinem Radius (Fig. 1 und 2), wie auch durch Tangentiallager (Fig. 3). Bei Balkenträgern tritt noch die weitere Voraussetzung hinzu, daß horizontaler Verschiebung des Trägers nur bei einer Stütze widerstanden wird. Man wendet dann bei den übrigen Stützen für kleine Objekte häufig Gleitflächenlager, für größere aber stets Rollenlager (einschließlich einzelner Rollen) an. Soweit der Rollenumfang bei der Bewegung des Trägers nicht zur Abwicklung kommt, dürfen die Rollen auch seitlich abgeflacht sein (Flachrollen, Pendel, Stelzen, Fig. 4), wodurch bei gleicher Größe des Auflagers größere Radien der Rollen und damit größere Beweglichkeit, bei gleichen Radien größere Konzentration des Auflagers und damit gleichmäßigere Druckverteilung ermöglicht werden. Bei allen diesen Auflagern ist darauf zu achten, daß die erreichte Beweglichkeit auch dauernd erhalten bleibt. Versuche von Perrissée [4] über die gleitende Reibung

R = fP

unter dem Drucke P ergaben den Reibungskoeffizienten f für Gußeisen auf Gußeisen bei reinen gehobelten Platten 0,18, bei rostigen und schmutzigen Platten 0,36–0,5. In dem Ausdrucke für die rollende Reibung

fand Perrissée für polierte Gußeisenrollen von d = 10 cm Durchmesser zwischen reinen gehobelten Gußeisenplatten f = 0,07, wenn jedoch, wie dies bei Brücken ohne Lagerabdeckung leicht vorkommt, die unteren Platten mit seinem Sande bedeckt waren, f = 0,35. Bei Versuchen von Foeppl [15] mit einem Zapfengelenk aus Stahl von d = 5 cm Durchmesser und l = 20 cm Länge zwischen Gußeisenplatten ließ sich die Reibung durch geeignete Schmiermittel auf weniger als den fünfzigsten Teil ihres Wertes bei ungeschmiertem Gelenk bringen. Kommt es darauf an, den Auflagerdruck möglichst um einen Punkt zu konzentrieren, wie bei Auflagern auf eisernen Säulen mit Rücksicht auf die Zerknickungsgefahr, so flehen unter anderm Tangentiallager (Fig. 3) mit Kugelsegmentstück und Kugelgelenkauflager zur Verfügung. Nicht selten hat man bei den Auflagern zugleich für die Möglichkeit kleiner Aenderungen der Spannweite (bei Bogen) oder der Höhenlage der Stützpunkte (bei kontinuierlichen Balken) behufs Verwirklichung rechnerischer Voraussetzungen oder Rückgängigmachung[355] unbeabsichtigter Aenderungen Sorge zu tragen, was durch eine Lagerung auf Keilen geschieht. Eine Anzahl Keile wurde mehrfach auch bei Bogen ohne Kämpfergelenke verwendet, um dem vorausgesetzten drehungslosen Festsitzen der Endquerschnitte nahe zu kommen.

Indem bezüglich der konstruktiven Anordnung der Auflager auf den Art. Auflager der eisernen Brücken und die Fachschriften [1], [6], [7], [12] verwiesen wird, soll im folgenden vom Wesentlichen der Berechnung die Rede sein. Bei Aufstellung der betreffenden Formeln ist die Reibung vernachlässigt.

I. Zwei sich berührende Ebenen (feste Flächenlager, Gleitflächenlager, Druckübertragung auf den Auflagerstein). Ist s die zulässige Druckbeanspruchung pro Flächeneinheit des wenigst widerstandsfähigen Materials der beiden in Berührung stehenden Körper, so hat man bei gleichmäßiger Verteilung des Auflagerdrucks A die nötige Druckfläche

F = ^A/_s

1.

Je weniger auf die erwünschte gleichmäßige Druckverteilung zu rechnen ist, um so kleiner hat man s zu wählen. Die Länge der Druckfläche des Trägers und der vielfach zwischen Träger und Grundplatte eingeschalteten Zwischenplatte würde sich aus 1. meist zu klein ergeben; sie pflegt durch die Rücksicht auf gleichmäßige Druckübertragung auf den Auflagerstein und nicht zu große Dicke d der Grundplatte benimmt zu sein. Zur Bestimmung einer genügenden Dicke d hat man sich die Platte als einen in der Mitte eingespannten, an einem Ende frei schwebenden Balken (s.d.) gedacht, wonach, wenn z die größte Zugbeanspruchung pro Flächeneinheit Querschnitt der Grundplatte und b deren wirksame Breite bedeutet,

Durch Vergrößerung von b und c (Fig. 5) kann d herabgesetzt werden, doch wird man unter etwa 4 cm wenigstens bei Gußeisen nicht gehen. Für letzteres kann in 2. an Stelle von z bis zu 1,75 z gesetzt werden (s. Biegungsfestigkeit). Der Platte zwischen Träger und Grundplatte wird bei Schweißeisen eine Stärke von etwa ^d/₃, bei Gußeisen eine solche von etwa 2^d/₃ gegeben.

Aus gleichen Gesichtspunkten, wie vorstehend die Dicke der Grundplatte, hat man in Ermanglung besserer Verfahren auch in andern Fällen Lagerstühle, Balanciers u.s.w. mit und ohne Rippen berechnet (vgl. [1], S. 301, und [6], S. 101). Ueber Druckfestigkeit von Steinprismen mit nur zum Teil beanspruchten Endquerschnitten s. Druckfestigkeit.

II. Zwei sich berührende Zylinderflächen (zylindrische Tangentiallager, Rollenlager, Flachrollenlager). Die hier und unter III. vorliegenden Aufgaben sind auf Grund der allgemeinen Elastizitätslehre isotroper fester Körper zuerst von Hertz behandelt und teilweise gelöst worden [2], der die Lösung bei Versuchen mit einer Glaslinse und zwei Glaszylindern bestätigt fand. Weitere Bestätigungen lieferten Versuche von Auerbach mit drei Glaslinsen und einer Bergkristallinse, von Stribeck [14] mit Kugeln und Platten aus gehärtetem Gußstahl (Kugelstahl) und von Bach [16] mit Granitquadern zu Gewölbegelenken. Ueber die zulässige Beanspruchung von Rollenlagern u.s.w. werden auf Veranlassung des Vereins deutscher Ingenieure zurzeit Versuche angestellt, die längst notwendig sind [11], [16]. Vorläufig hat man die vorhandenen Anhaltspunkte zu benutzen.

Bezeichnen für zwei Kreiszylinder, die sich im spannungslosen Zustande längs einer Erzeugungslinie berühren, r₁, r₂ die Radien, E₁, E₂ die Elastizitätsmoduln (s.d.), μ₁, μ₂ die Elastizitätsquotienten (s.d.), die das Verhältnis der Querzusammenziehung zur Längsdehnung gezogener Prismen bedeuten und meist zwischen ¹/₃ und ¹/₄ liegen, so fand Hertz mit den Bezeichnungen

die Breite (senkrecht zur Zylinderlänge) der durch einen Normaldruck P auf die Zylinderlänge l erzeugten rechteckigen Berührungsfläche

und den größten Druck pro Flächeneinheit, der unmittelbar unter P eintritt:

Da bei gleichmäßiger Verteilung von P auf die Berührungsfläche auf die Flächeneinheit ^P/_bl käme, so ist der größte Druck pro Flächeneinheit ⁴/_π mal so groß als in jenem Falle. Mit 4. liefert 5.:

[356] Die Werte der r sind positiv oder negativ einzuführen, je nachdem die Mittelpunkte der Krümmung innerhalb oder außerhalb der betreffenden Körper liegen, wie z.B. im Falle der Fig. 7 für die Körper der Radien r₁ bezw. r₂. Bei gleichem Material der beiden Körper folgen mit

Findet, wie meist bei Tangentiallagern, Rollenlagern u.s.w., die Berührung eines Kreiszylinders mit einer ebenen Platte statt, so erhält man mit r₁ = r, r₂ = ∞ aus 4., 6. für verschiedene Materialien der beiden Körper:

Neben den Ausdrücken 8., 10., 12. gilt natürlich die allgemeine Gleichung 5.

Die Formeln 11., 12. sind von Bach an der Hand von Versuchen mit Granit aus Wunsiedel in Bayern von etwa 1,2–1,6 t pro Quadratzentimeter Druckfestigkeit geprüft worden [16]. Die Versuchsstücke entsprachen Fig. 9 mit annähernd a = 30 cm, l = 20 cm, h = 35 und 50 cm und den Radien r = 25, 35, 100 und 375 cm. Bei verschiedenen Belastungen P, die von meist anfänglich 101 bis zum Eintritt von Rissen gesteigert wurden, fand Feststellung der Berührungsbreiten b statt. Nach 11. Folien sich die b für homogenes isotropes Material bei bestimmten r, l innerhalb der Proportionalitätsgrenze wie die Quadratwurzeln aus den Belastungen P verhalten, was die Versuche genügend bestätigten. Für die erreichbaren größten Druckspannungen s sind selbstverständlich nicht die gewöhnlichen Druckfestigkeiten maßgebend (s. Festigkeitsbedingung, Druckfestigkeit). Die Risse traten bei folgenden Belastungen P ein, während 12. mit den Mittelwerten μ = ¹/₃, E = 326 t pro Quadratzentimeter für diese P die beigesetzten s ergaben.

Die Bruchbelastungen waren hiernach nicht proportional den Krümmungshalbmessern r, wie es zufolge 12. auch bei etwas veränderlichen E, μ, l annähernd sein müßte, wenn eine bestimmte Druckbeanspruchung s für den Bruch maßgebend wäre; es wurden im allgemeinen bei kleineren r höhere Werte von s als bei größeren r ausgehalten. Werden die Bruchbelastungen P als Ordinaten bei den entsprechenden Radien r als Abszissen aufgetragen, so entspricht in Fig. 10 die obere Kurve im großen und ganzen den Versuchsergebnissen, die strichpunktierte Linie der Gleichung 12. mit bestimmten E, μ, l. s. Allerdings beansprucht Gleichung 12. selbst bei homogenem isotropen Material nicht Gültigkeit bis zum Bruche, allein schon die Beobachtung der Risse führte zu dem Schlusse, daß der Bruch nicht durch Druckspannungen, sondern durch die auftretenden Zugspannungen herbeigeführt wurde.

Verteilt sich wie bei Rollenlagern, einschließlich Flachrollenlagern, der Auflagerdruck A auf n Zylinder vom Radius r und der wirksamen Länge l zwischen ebenen Platten, so hat man mit P = ^A/_n nach 10. bei verschiedenen Materialien von Rollen und Platten:

und nach 12. bei gleichem Material von Rollen und Platten:

[357] Man kann hieraus eine der Größen n, r, l, s berechnen, wenn die andern bekannt sind. Wir werden A in Tonnen, E und s in Tonnen pro Quadratzentimeter, r und l in Zentimeter einsetzen.

Nach den Versuchen von Bach mit Granit ist auch bei andern Materialien, insbesondere bei Gußeisen der Bruch durch Zugspannungen zu erwarten. Nun sind aber weder die Werte der letzteren noch die entsprechenden Druckspannungen s von Auflagervorrichtungen festgestellt. Unter diesen Umständen interessieren in erster Linie diejenigen Werte von s, die bei den bisherigen Ausführungen zugelassen und ohne bekannten Schaden ausgehalten wurden. Setzt man im Mittel für Gußeisen E = 1000 t, für Gußstahl E = 2200 t pro Quadratzentimeter und für beide μ = ¹/₃, so folgen bei gleichem Material von Rollen und Platten aus 12.:

Vergleicht man diese Ausdrücke mit den folgenden Beziehungen, welche älteren Formeln und Konstanten der angeführten Verfasser entsprechen, so ergeben sich die beigesetzten Werte von s [11].

Die Zahlen von Deslandres sind auf Grund einiger Versuche über bleibende Formänderungen gegeben [9].

Vorstehende längst angewandte Druckbeanspruchungen s sind also erheblich höher, als man unter gewöhnlichen Verhältnissen zu gehen gestattet. Bei Versuchen von Stribeck, wenn auch mit anderm Material und unter andern Verhältnissen, als sie im Brückenbau vorliegen, erwiesen sich noch weit größere Beanspruchungen als zulässig (s. unter III.). Man wird daher, bis weitere Versuchsergebnisse vorliegen, immerhin bis zu den höchsten obiger s gehen und bei Auflagern setzen können:

für Gußeisen s = 3–4 t/qcm,	nrl = 20A – 10A
für Gußstahl s = 5–7 t/qcm,	nrl = 16A – 8A

Bei der Abstufung von s oder von φ in

ist auf die Erreichbarkeit gleichmäßiger Druckverteilung Rücksicht zu nehmen, die unter sonst gleichen Verhältnissen mit abnehmender Rollenzahl zu wachsen pflegt. Auch scheinen nach den Versuchen von Bach bei kleineren r größere s zulässig zu sein. Mit wachsenden s oder abnehmenden φ nehmen die Eindrückungsbreiten zu, also die Beweglichkeit der Rollenauflager ab, wodurch auch größere Nebenspannungen in den Trägern und stärkere Einwirkungen auf die Widerlager bedingt sind. Perrissée erwähnt vier Fälle, in denen Widerlager infolge Zusammenziehung der Träger bei der Abkühlung nach innen gezogen wurden und Risse entstanden. Bei der Wahl von Gußeisen oder Stahl ist zu beachten, daß Gußeisen weit geringere Zugspannungen aushält und gerade diese für den Bruch maßgebend erscheinen. Sodann kommt in Betracht, daß die Eindrückungsbreiten für Gußeisen und Stahl nach 11. annähernd im Verhältnis stehen

wonach die Beweglichkeit der Gußeisenrollen unter sonst gleichen Verhältnissen geringer ist.

Die wirksame Länge l der Rollen hängt von den darüberliegenden Konstruktionsteilen ab, sie kann durch genügend kräftige Platten zwischen Untergurt und Rollen vergrößert werden. Der Durchmesser d = 2r der letzteren wird meist unmittelbar gewählt. Er soll nicht zu klein sein, damit nicht zu große Reibung entsteht, aber auch nicht größer, als mit einer guten Druckverteilung auf alle Rollen noch verträglich ist. Beispielsweise nahm Winkler an:

für Vollrollen: bei eingleisigen Brücken d = 10 + 0,10 L cm,

für Vollrollen: bei zweigleisigen Brücken d = 10 + 0,13 L cm,

für Flachrollen: bei eingleisigen Brücken, d = 15 + 0,16 L cm,

für Flachrollen: bei zweigleisigen Brücken, d = 15 + 0,20 L cm,

worin L die größte angrenzende Spannweite in Metern.

Bei mittlerer Temperatur (für Stuttgart 10° C.) und Belastung durch das Eigengewicht der Konstruktion allein sollen die Flachrollen vertikal flehen. Kann nun bei andrer Temperatur und Belastung eine Verschiebung des Trägers am fraglichen Auflager um v eintreten, so wählen die Breite der Flachrollen: Winkler 2v + 2,5 cm, Häseler 2v + 3 cm. Ist L₁ die Entfernung vom festen Auflager, α der Ausdehnungskoeffizient des Trägermaterials, τ die größte Abweichung[358] von der mittleren Temperatur, so hat man eine mögliche Verschiebung durch Temperaturänderungen allein aτL₁. Hierzu kommt die geringere Verschiebung infolge elastischer Deformationen. Handelt es sich beispielsweise um ein Balkenfachwerk mit einer Oeffnung L und horizontalem Verbindungsgurt der Auflager, das für ein gleichmäßig verteiltes Eigengewicht von g und eine ebensolche Verkehrslast von p pro Längeneinheit berechnet ist, während E den Elastizitätsmodul und s die gewählte zulässige Beanspruchung des Horizontalgurts bedeuten, so hat man mit L₁ = L und q = g + p

Für Schweißeisen ist etwa α = 0,000012, für Flußeisen und Stahl α = 0,000115.

III. Zwei sich berührende Kugelflächen (Sphärische Tangentiallager, Kugellager für Lastverschiebungen). Bezeichnen für zwei Kugeln r₁, r₂ die Radien, E₁, E₂ die Elastizitätsmoduln, μ₁, μ₂ die unter II. erwähnten Elastizitätsquotienten, so hat man nach Hertz [2] mit den Bezeichnungen 3. den Durchmesser der durch einen Normaldruck P erzeugten kreisförmigen Berührungsfläche:

und den größten Druck pro Flächeneinheit, der unmittelbar unter P eintritt:

das ist ³/₂ mal so groß als bei gleichmäßiger Verteilung von P auf die Berührungsfläche. Mit 16. liefert 17.:

Die Werte der r sind positiv oder negativ einzuführen, je nachdem die Mittelpunkte der Krümmung innerhalb oder außerhalb der betrachteten Körper liegen, wie im Falle der Fig. 7 für die Körper der Radien r₁ bezw. r₂. Bei gleichem Material der beiden Körper hat man mit e₁ = e₂ = ⁴/_E (1 – μ²) nach 16. und 18.

Findet, wie bei sphärischen Tangentiallagern gewöhnlich, die Berührung einer Kugelfläche mit einer ebenen Platte statt, so folgen mit r₁ = r, r₂ = ∞ aus 16., 18. für verschiedene Materialien der beiden Körper:

und aus 19., 20. bei gleichem Material beider Körper:

Neben den Ausdrücken 20. und 24. gilt natürlich die allgemeine Gleichung 17. Man kann P in Tonnen, E und s in Tonnen pro Quadratzentimeter, r in Zentimetern einsetzen. Es empfiehlt sich, Segmentstück und Druckplatte in Stahl herzustellen, da zweifellos wie im Falle II. erhebliche Zugspannungen auftreten.

Versuche über die größten zulässigen Spannungen liegen für Brückenauflager nicht vor, doch kann s in obigen Gleichungen vorläufig jedenfalls so hoch wie günstigenfalls für zylindrische Tangentiallager gesetzt werden (s. unter II.). Aehnlich 15. läßt sich nach 24. bei Berührung von Kugel und ebener Platte unter dem Normaldruck P schreiben:

Stribeck hat Versuche mit Kugeln von 2,86 cm Durchmesser und ebenen Platten aus gehärtetem Gußstahl (Kugelstahl) angestellt [14], dessen Elastizitätsmodul und Proportionalitätsgrenze für gewöhnlichen Druck zu E =2120 t und 9 t pro Quadratzentimeter ermittelt waren, während der Elastizitätsquotient μ = 0,3 gesetzt wurde. Damit liefert 25.:

Sollte nun die für die wirkliche Beanspruchungsart auf Grund der Anschauungen Über die reduzierten Hauptspannungen (s. Festigkeitsbedingung) berechnete Elastizitätsgrenze von s = 9 ∙ 1,92 = 17,28 t pro Quadratzentimeter nicht überschritten werden, so wäre zulässig gewesen:

P = 0,02r²t.

[359] »Wollte man jedoch die zulässige Beanspruchung gehärteter Stahlkugeln so niedrig wählen, daß die Elastizitätsgrenze nicht überschritten wird, so käme dies einem Verzicht auf Kugellager für größere Belastungen gleich.« Mit Rücksicht auf Versuche auch über die Reibung wählte Stribeck bei ebenen (sowie zylindrischen und kegelförmigen) Laufflächen: P = 0,12r² bis 0,20r²t, was nach dem letzten Ausdruck für r Druckspannungen s = 31,58 bis 37,45 t entspricht. Kugellager, welche die deutschen Waffen- und Munitionsfabriken in Berlin nach diesen Annahmen herstellen ließen, haben sich bewährt.

IV. Zwei sich umschließende Zylinderflächen (Zapfengelenke). Eine befriedigende Lösung dieser und der folgenden Aufgabe existiert bis jetzt nicht. Man pflegt vorauszusetzen, daß die elastischen Eindrückungen der beiden Körper normal zur Berührungsfläche proportional den sie erzeugenden Normaldrücken pro Flächeneinheit sind. Reicht die Berührungsfläche bei einer wirksamen Länge l von φ = – nπ bis φ = nπ (Fig. 11), so ergibt sich der größte Normaldruck pro Flächeneinheit, unmittelbar unter dem resultierenden Drucke P,

Für den gewöhnlichen Fall, daß nahezu nπ = ^π/₂ ist, folgt hieraus bei einer zulässigen Druckbeanspruchung s des wenigst widerstandsfähigen der beiden Körper der nötige Radius:

Da jedoch auf eine Berührung längs der ganzen Fläche nicht zu rechnen ist, so kann man etwa setzen nπ = ^π/₄, womit abgerundet

Wenn P in Tonnen, l in Zentimetern, s in Tonnen pro Quadratzentimeter eingesetzt werden, so ergibt sich r in Zentimetern, s wird man unter den hier vorliegenden Verhältnissen vorläufig etwa wählen können für Gußeisen 0,9–1,2 t, für Gußstahl 1,5–2 t.

V. Zwei sich umschließende Kugelflächen (Kugelgelenke). Ist die Berührungsfläche in der Richtung des resultierenden Druckes P von der Höhe h (Fig. 12), so erhält man auf Grund der unter IV erwähnten Voraussetzung den größten Normaldruck pro Flächeneinheit, unmittelbar unter P,

Für den gewöhnlichen Fall, daß nahezu h = r ist, folgt hieraus bei einer zulässigen Druckbeanspruchung des wenigst widerstandsfähigen der beiden Körper von s per Flächeneinheit der nötige Radius:

Um sicherer zu gehen, kann man etwa h = r/2 setzen, womit abgerundet

Wenn P in Tonnen und s in Tonnen pro Quadratzentimeter eingesetzt werden, so ergibt sich r in Zentimetern. Für s gilt das am Schlusse von IV. Gesagte.

Literatur: [1] Winkler, Die Gitterträger und Lager gerader Träger eiserner Brücken, Wien 1875, S. 245. – [2] Hertz, Ueber die Berührung fester elastischer Körper, Journal für reine und angewandte Mathematik 1882, S. 156 (auch Verhandlungen des Vereins s.d. Beförderung des Gewerbefleißes, 1882, S. 449). – [3] Hertz, Ueber die Verteilung der Druckkräfte in einem elastischen Kreiszylinder, Zeitschr. f. Math. u. Physik 1883, S. 125 (auch Gesammelte Werke von Hertz, I, Leipzig 1895, S. 283). – [4] Perrissée, Sur le frottement des poutres libres sur glissières et sur rouleaux en fonte, Mémoires de la société des ingénieurs civils 1883, II, S. 358. – [5] Boussinesq, Applications des potentiels à l'étude de l'équilibre et du mouvement des solides élastiques, Paris 1885, § 5 und S. 713. – [6] Häseler, Der Brückenbau, I, 1. Lieferung, Braunschweig 1888, S. 89. – [7] Handbuch d. Ingenieurwissenschaften, Bd. 2, 2. Abt., Leipzig 1890, S. 497 (Balkenbrücken); 3. Abt., Leipzig 1888 (bewegliche Brücken); 4. Abt., Leipzig 1888, S. 188, 231 (Hängebrücken, Bogenbrücken). – [8] Galliot, Note sur le calcul des efforts dans les corps cylindriques en contact, Annales des ponts et chaussées 1892, II, p. 391. – [9] Deslandres, Expériences sur la résistance des rouleaux métalliques, Annales des ponts et chaussées 1893, I, p. 1160. – [10] Bach, Versuche über die Formänderungen der Rollen und Platten von Rollenlagern, Zeitschr. d. Ver. deutsch. Ing. 1894, S. 199 (s.a. 1889, S. 477). – [11] Weyrauch, Ueber die Berechnung der Brückenauflager, Zeitschr. d. Arch. – u. Ing. – Ver. zu Hannover 1894, S. 131, 569. – [12] Handbuch d. Architektur, 3. Teil, Bd. 2, 4. Heft, Leipzig 1897, S. 265. – [13] Galliot, Résistance des sphères et cylindres en contact, Annales des ponts et chaussées 1899, III, p. 294. – [14] Stribeck, Kugellager für beliebige Belastungen, Mitteilungen aus d. Zentralstelle s. wissenschaftlich-technische Untersuchungen, Heft 1, Neubabelsberg 1900 auch Zeitschr. d. Ver. deutsch. Ing. 1901, S. 73, 332. – [15] Foeppl, Reibung in Brückengelenken, Zentralblatt d. Bauverwaltung 1901, S. 197. – [16] Bach, Versuche mit Granitquadern zu Brückengelenken, Zeitschr. d. Ver. deutsch. Ing. 1903, S. 1439.

Weyrauch.

Fig. 1.

Fig. 2.

Fig. 3.

Fig. 4.

Fig. 5.

Fig. 6.

Fig. 7.

Fig. 8.

Fig. 9.

Fig. 10.

Fig. 11.

Fig. 12.