Planimeter [1]

Planimeter (Flächenmesser), Instrumente zur graphischen oder mechanischen Bestimmung des Flächeninhalts von Figuren, welche in einer Ebene liegen oder auf eine solche abgewickelt werden können.

Es handelt sich bei diesen Berechnungen zumeist um die Feststellung des Flächeninhaltes von kartographischen Darstellungen bestimmter Landgebiete oder Oberflächenteile gewisser Körper (Schiffskörper oder dergl.), die sich in einer Ebene in natürlichem oder verjüngtem Maßstabe darstellen lassen. Zu solchem Zwecke kann z.B. die Gewichtsbestimmung der auf gleichmäßig starkem Papier gegebenen und daraus ausgeschnittenen Darstellung dienen, wenn das Gewicht der unter gleichen Bedingungen hergestellten Flächeneinheit bekannt ist. – Genauere Methoden erhält man aber durch Benutzung graphischer Netze, die in Form von rechtwinklig sich schneidenden Linien oder aus ebensolchen Fadensystemen hergestellt werden; durch Auflegen dieser Netze, die in manchen Fällen durch Beweglichkeit der Rahmen aus Quadraten in Rhomben übergeführt werden können (Harfenplanimeter), kann dann, wie Fig. 1 erkennen läßt, mittels einfachen Abzählens der Flächeninhalt der Figuren bestimmt werden. Das Hyperbelplanimeter von Kloth läßt mit Hilfe der Hyperbelschar xy = p den Inhalt von Dreiecksflächen, in die Polygone zerlegt werden, ablesen. Näheres in [1] und [2]. Wird die Fläche von krummen Linien begrenzt und dieselbe daher durch die Linien der Fäden in schmale Trapeze geteilt, so hat man der Summierung die sogenannte Simpsonsche Regel zugrunde zu legen. Diese Methode eignet sich auch vorzüglich zur Ausmessung von Querprofilen, bei Trassierungen u. dergl. Man hat eine ganze Anzahl solcher Instrumente konstruiert; vgl. dazu [3] und [4].

Wesentlich komplizierter, aber auch im allgemeinen genauer sind die sogenannten Umfahrungsplanimeter; bei diesen Instrumenten geschieht die Flächenermittlung rein mechanisch dadurch, daß man mittels eines Fahrstiftes den Umfang der Figur einmal vollständig umfährt, wobei man den Inhalt der Fläche schließlich dadurch erhält, daß man die Anzahl der Umdrehungen einer Rolle zählt, welche sich auf einer ebenen Fläche bewegt oder von dieser bewegt wird (Hanfensches Planimeter). – Bezüglich der historischen Entwicklung dieser Instrumente vgl. [5].

Auf die ausführliche Theorie der Rollenplanimeter soll hier nicht weiter eingegangen werden, es muß dieserhalb auf die einschlägige Literatur und vor allem auch wegen des in der Meßkunst notwendigen Verständnisses auf die Lehrbücher der Feldmeßkunst (Bauernfeind, Hunaeus, Jordan, u.s.w.) verwiesen werden. Das allgemeine Prinzip ist kurz das folgende: Eine Achse von konstanter Länge a (Fig. 2) endigt auf der einen Seite in einem senkrecht zu ihr stehenden Fahrstift S, mit dem der Umfang einer zu bestimmenden Fläche F von einem Punkt K ausgehend und bis zu ihm zurückkehrend umfahren wird. Der zweite Endpunkt A der Stange wird dagegen auf einer bestimmten, gegen F festliegenden, übrigens beliebigen Kurve C geführt. Jedem Punkte der Kurve von F entspricht also ein ganz bestimmter Punkt der C-Kurve (und zwar soll das eindeutig der Fall sein), dessen Entfernungen entsprechend stets gleich a sein müssen. – Jede Lagenänderung der Stange zwischen zwei Punktpaaren kann zerlegt gedacht werden in eine Drehung d α (Fig. 3) um einen Punkt der C-Kurve und eine Parallelverschiebung d h der Stange, bei der ihre beiden Endpunkte auf F und C bleiben. Die Fläche, welche die Stange bei dieser Bewegung überstreicht, kann dann ausgedrückt werden durch

d F = ¹/₂ a² d α + a d h.

1.

Denkt man sich nun auf der Stange a ganz leicht drehbar eine Rolle mit schmalem Spurkranz« deren Umdrehungen sowohl im ganzen als auch etwa in Hundertsteln gemessen werden können, so bewirken die beiden angegebenen Bewegungen der Stange, Drehung um den einen Endpunkt und Parallelversetzung, gewisse Drehungen der Rolle. Nur bei der ersten von beiden[141] kommt aber der Ort in Betracht, an dem das Rad sitzt: Ist (Fig. 4) das Rad R in der Entfernung c von A und dreht man die Stange, bei festgehaltenem A, um einen beliebigen Winkel α aus AB₁ nach AB', so macht das Rad, dessen Spurkranzumfang u sei, so viele Umdrehungen, als in dem »abgewickelten« Bogen D₁ D' der Umfang u des Rades enthalten ist. Bei Drehung der Stange von AB₁ nach AB₃, und dann zurück nach AB' kommt der Bogen B'B₃ oder D' D₃ nicht in Betracht, da er nur eine sich aufhebende Hin- und Zurückdrehung des Rades verursacht; man erhält also für das Drehungselement d α die Größe der Rollenumdrehung

Wird dagegen (Fig. 5) die Stange a aus der Lage AB' in die Lage A₂ B₂, auf beliebigem Weg, aber so, daß sie stets zu ihrer Anfangslage parallel ist, um den Betrag h verschoben, so macht das Rad so viele Umdrehungen, als sein Umfang u in h enthalten ist, d.h. man hat nach den obigen Betrachtungen für die elementare Parallelverschiebung

Denkt man sich nun das C-Ende der Stange a zwangläufig auf einer bestimmten Kurve (dies kann ein Kreis, eine Ellipse oder auch eine Gerade oder auch nur ein Teil solcher Kurven sein), so können zwei Fälle eintreten. Einmal kann diese Kurve ganz außerhalb (Fig. 6), das andremal zum Teil oder ganz innerhalb (Fig. 7) der Fläche F liegen. Im ersteren Fall, wenn die Elementarbewegungen n₁ und n₂ nach 2. und 3. angesetzt werden, ist Σ n₁ = 0, da die Stange a wieder in die Anfangslage zurückkommt, also d Σ α = 0 wird; es bleibt also für diesen Fall als wirklich registrierte Gesamtzahl der Rollenumdrehungen während der Umfahrung:

Auch die n₂ haben verschiedene Vorzeichen, heben sich aber nicht auf. Man erhält durch Integration aus 1.

F = Σ a d h = a Σ d h,

5.

da Σ d α = 0 ist. Multipliziert man 4. mit der Konstanten a u, so wird

Es ist also in der Tat F proportional der registrierten Anzahl N der Rollenumdrehungen (d.h. der Differenz der vor und nach der Umfahrung abgelesenen Rollenangaben); um F zu erhalten, ist N mit dem konstanten Rechteck a u aus Stangenlänge und Radumfang zu multiplizieren.

Im zweiten Fall dagegen ist (unter der obenangegebenen Bedingung einer wirklichen vollständigen Umdrehung der Stange)

Σ d α = 2 π

7.

die vom Fahrstift umschriebene Fläche setzt sich zusammen aus (vgl. Fig. 7):

1. dem von der festen Kurve C umschlossenen Inhalt (Fläche K);

2. der Σ der Elementarsektoren 1/2 a² d α (vgl. Fig. 3 und Gleichung 1); diese Summe ist, da Σ d α = 2 π ist, gleich π a² (Kreis vom Halbmesser a);

3. der Σ der Elementarparallelogramme Σ a d h; es ist also hier

F = K + π a² + Σ a d h.

8.

Da die Rollendrehungen, die durch die Bewegungen der Stange allein entstehen, hier sich nicht aufheben, sondern addieren, so ist auch der Ort des Rades nicht mehr gleichgültig wie im ersten Fall. Der Rollenspurkranz sei c vom Endpunkt A der Stange entfernt, aber jenseits von A, von S aus gesehen (vgl. Fig. 8). Bei Drehung des Fahrstifts von S nach Si macht dann die Rolle n₁ = –c α 1/u Umdrehungen. Die Anzahl dieser ist dann:

Multipliziert man auf beiden Seiten mit a u, so wird

N a u = Σ a d h – 2 π a c.

10.

Die Vergleichung von 10. mit 8. gibt nun:

F = K + π a² + N a u + 2 π a c,

11.

oder, wenn C eine gewisse konstante Fläche bedeutet, nämlich C = K + π a² + 2 π a c,

F = C + N a u.

12.

[142] In diesem Fall ist also nicht mehr unmittelbar F, sondern (F – C) oder (C – F) der Rollenumdrehungszahl N proportional. Ist einmal K und damit C bekannt, so ist also auch für diesen Fall das einarmige Planimeter zur Flächenbestimmung benutzbar.

Mit den vorstehenden Erläuterungen ist die Wirkungsweise der Rollenplanimeter gegeben, die Praxis hat diese Prinzipien in verschiedener Weise zur Ausführung gelangen lassen. Das älteste derartige Planimeter ist wohl das von dem Trigonometer Hermann in München in Gemeinschaft mit dem Steuerrat Lämmle schon 1814 angegebene Instrument, welches als ein Linearplanimeter bezeichnet werden muß, da die Abwicklung der Rolle schon, wie später bei dem Wetli-Starkeschen und dem Hansenschen Planimeter in senkrecht zueinander stehenden Richtungen vor sich gingen, und zwar so, daß die Kurve C unter der Rolle (früher Kegel) auf einer Scheibe vor sich ging, welche die Bewegung des Fahrstifts erst durch Schnurlauf aufnahm und auf die Rolle übertrug; vgl. dazu vor allem [5].

Diese Planimeter, von denen heute wohl nur noch die Hansensche (Ansfeldsche) Konstruktion in manchen Fällen benutzt wird, haben den Nachteil, daß sie selbst bei großen Dimensionen doch immer nur kleine Teile einer Figur auf einmal zu umfahren gestatten. – Außerdem ist die Einheit der Ablesungen nicht ohne Umstände auf eine gerade Flächeneinheit zu bringen, und dazu kommt ein sehr hoher Preis. – Eingehende Literatur über die Priorität der Erfindung und die einzelnen Zwischenstufen der Entwicklung findet sich im unter [6] angeführten Werkchen. – Andre Planimeter sind darauf eingerichtet, daß die Kurve C ein Kreis oder eine einfache gerade Linie ist und bei ihnen diese Kurve festliegt, während sich die Rolle darauf abwickelt, dahin gehören das Polarplanimeter und das Rollenplanimeter.

Das Polarplanimeter (Erfindung von Amsler sen. 1856 und Miller in London, unabhängig voneinander) ist wie folgt eingerichtet (Fig. 9, in der Figur ist der Raumersparnis halber der Pol P zu nahe an den Umfang von F gesetzt). Im einen Endpunkt der Stange ist mit ihr durch ein Gelenk G verbunden der Arm, der in einem beim Gebrauch des Instruments festen Punkt, dem Pol P, endigt. Die Rolle sitzt auf der in Spitzen gehenden Welle W unterhalb der sogenannten Hülfe H, jenseits (vom Fahrstift aus gesehen) des Gelenkes G. Die Registriervorrichtung für Teile von Rollenumdrehungen befindet sich auf dem Rollenrand selbst (100 Teile, so daß eine Hundertstel Umdrehung direkt angegeben ist, eine Tausendstel geschätzt oder durch den Nonius J₂ abgelesen werden kann). Man bezieht oft die Angaben eines Planimeters auf solche Tausendstel Umdrehungen der Rolle oder »Noniuseinheiten«. – Die ganzen Rollenumdrehungen werden mit Hilfe der (bis zehn gehenden) Zählscheibe Z (Index J₁) registriert, die durch Schraube ohne Ende W und ein Zahnrädchen in Drehung gesetzt wird. Beim Gebrauch sitzt das Instrument mit folgenden drei Punkten auf der F enthaltenden Papierebene: Pol P (fest), Fahrstift S (in einem Punkt des Konturs von F), Spurkranzpunkt der Rolle R. Der Punkt G (Gelenk; = A der obigen Theorie) der Stange G S befindet sich stets in einem Punkt eines bestimmten festen Kreises um P; dieser Kreis stellt hier die oben mit C, Inhalt K, bezeichnete Kurve vor. Dieser Kreis habe den Halbmesser b (feste Länge des Arms GP); die Länge der Stange GS sei a, Entfernung GR = c, der Rollenumfang u. Dann ist für:

a) Pol außerhalb von F, unmittelbar nach 6

F = N a u;

13.

die Abmessungen b und c kommen nicht in Betracht. Ist z.B. (in ganzen Umdrehungen der Rolle) der Zählwerksstand vor der Umfahrung 4,739, nach drei Umfahrungen 7,405, also für eine solche im Mittel 0,8887, so ist die gesuchte Fläche F = 0,8887 (a u) und bekannt, sobald die Flächeneinheit a u (Länge der Stange mal Rollenumfang) bekannt ist.

Die Bestimmung von a u erhält man am heften aus der Umfahrung von Figuren bekannten Flächeninhalts (Q), die entweder aus dem Quadratnetz der Karte, auf der die zu messende Figur enthalten ist (dabei wird auch eventueller Papierschwund berücksichtigt) entnommen oder in Form eines Kreises oder Quadrates zu diesem Zweck auf die Zeichenfläche aufgetragen wird. Man hat dann nur zu setzen

F = Q N : N₀,

14.

wenn N₀ den Wert N für die Einheitsfläche bedeutet. Ein bequemes Mittel zur Herstellung des genannten Einheitskreises gibt die sogenannte »Probeschiene«, mit deren Hilfe man gezwungen den Fahrstift auf einem Kreis von 3, 4, 5 ... 10 cm Halbmesser führt (Fig. 10). Man drückt die Nullpunktnadel der Probeschiene ungefähr in den Schwerpunkt von F, umfährt einen der Kreise Q, sodann F und erhält aus 14. F im richtigen natürlichen Maß, in dem Q gemessen ist. Hätte das Papier merklichen Eingang, so wäre dieser also hier zu berücksichtigen [2 p% der Fläche, wenn p% der lineare Eingang ist, oder (p + q)%, wenn p und q die prozentischen[143] linearen Eingänge in zwei zueinander senkrechten Richtungen sind]; und in jedem Fall ist das Natur-F, wenn Fp das Plan- oder Zeichnungs-F ist, F = F_p · M₂, wenn 1 : M der Längenmaßstab der Zeichnung ist.

Einstellung eines bestimmten a u. Die Länge der Stange a kann verändert werden durch Bewegung in der Hülfe H. Einstellung von a u auf eine runde Zahl, z.B. a u = 100 qcm, die für manche Zwecke bequem ist, wird selbstverständlich ebenfalls mit Hilfe der Probefläche Q gemacht; sie ist aber nach dem Vorgehenden keineswegs immer notwendig, sogar gerade für genauere Arbeit ganz überflüssig; vgl. a. den Schluß von b).

b) Pol innerhalb von F. Bei Umfahrung von F kommt das Gelenk G folgeweise in jeden Punkt des fetten Kreises mit b um P; also ist nach 11. und 12.:

F = C + N a u,

15.

wobei C = K + π a² + 2 π a c = π b² + π a² + 2 π a c ist; es kommen jetzt alle Abmessungen des Instruments in Betracht. Da C ungefähr die größte Fläche vorstellt, die man mit Pol innen auf einmal umfahren kann, so ist nach 15. F = C + N a u = ± N a u ± (π b² + π a² + 2 π a c), je nachdem man die Figur F im oder gegen den Sinn des Uhrzeigers ausführt. – Die Bestimmung von C wird wieder, nachdem a u bestimmt oder zu 100 u. dergl. gemacht ist, mit der Probeschiene ausgeführt, wobei man aber hier die Polnadel durch den Nullpunkt der Schiene auf das Papier muß feststecken können. Der Wert von C ändert sich, wenn a geändert wird; bei der Stellung, bei der a u = 100 qcm ist (s. oben), ist C (im natürlichen Maß) bei den Planimetern gewöhnlichen Amslerschen Modells meist zwischen 2000 und 2200 qcm (die Zahlen für C sind auf der Stange angeschrieben, z.B. 20765 für ein bestimmtes a; sie sind als 2076,5 qcm u.s.w. zu lesen). Die für C angegebenen Zahlen sind meist ebenso wie die Marken für bestimmte a u nicht sehr zuverlässig und nur für eine bestimmte Papiersorte u.s.w. gültig. Man sollte deshalb diese Bestimmungen stets selbst machen; vgl. dazu [7].

Pol außen gibt genauere Resultate als Pol innen, besonders wenn dort nach 14. gearbeitet wird; Pol innen wird um so schlechter sein, je kleiner F ist, da dann F als Differenz zweier großer Zahlen entsteht, bei sehr großen Flächen von z.B. 1000 und 1500 qcm ist aber, bei gut bekanntem C, Pol innen ebensogut oder besser als Pol außen (wo man diese Fläche aus drei oder vier Teilen zusammensetzen muß).

Als besondere Konstruktionen sind hervorzuheben das Pantographplanimeter von Amsler für sehr kleine und sehr große Flächen; die Einrichtung von Amsler zur unmittelbaren Bestimmung von Mittelordinaten; Instrument mit C = 0 (kein Unterschied zwischen Pol außen und Pol innen von Reitz, Hamann und Coradi). Wegen Einzelheiten der Ausführung des Instruments sowie wegen solcher für besondere Zwecke u.s.w. vgl. [8]. – Wichtig ist die Elimination des Fehlers, der durch die sogenannte Rollenschiefe (und die Scharnierschiefe) am Polarplanimeter entsteht [9]. Sie ist mechanisch auszuführen bei dem Kompensationsplanimeter von Lang [10] (ausgeführt von Coradi, Fig. 11, die das eine dieser Modelle zeigt); die Stange läßt sich unter dem Polarm durchschlagen, das Instrument ist nacheinander in einer »ersten und zweiten Lage« zu gebrauchen. Durch die Mittelung der beiden erhaltenen Flächenwerte werden nicht nur gewisse Fehler eliminiert, sondern auch erkannt, was für die Justierung der Instrumente von Wichtigkeit ist.

Ebenso wichtig sind zwei Abänderungen des oben beschriebenen gewöhnlichen Planimeters; die eine hebt die Rolle vom Papier, das F trägt, ab und läßt sie auf einer besondere Celluloidscheibe, also ein für allemal auf derselben Unterlage, sich abwälzen, wodurch man von der Papierbeschaffenheit unabhängig wird. Es sind dies die sogenannten Scheibenplanimeter; Näheres hierüber, besonders über die freischwebenden Scheibenplanimeter in [11]. Bei mehreren neueren Planimeteranordnungen ist man in dieser Richtung, einer Verbesserung der Rollenbewegung noch weitergegangen, indem man die gleitenden Bewegungen der Rolle ganz vermieden hat; es ist dies bei den sogenannten Kugelplanimetern geschehen; Näheres in [12].

Rollplanimeter sind Instrumente, bei denen die Kurve C in Fig. 2, 3, 6 und 7 eine Gerade ist (aber nicht jedes Instrument, bei dem dies zutrifft, braucht ein Rollplanimeter zu sein); denkt man sich z.B. in der Metallplatte P (Fig. 6) eine gerade Nut eingeschnitten, in die der zylindrisch geformte Anfangsstift A der Stange a genau paßt, und die Rolle der Stange mit Zählwerk ausgestattet, so hat man ein brauchbares Planimeter; (auf diesem Prinzip beruht z.B. das Instrument von Hine und Robertson). Man kann die Rollplanimeter auch bezeichnen als Polarplanimeter mit b = ∞; es ist also hier stets der Fall Pol außerhalb F vorhanden. Das Gelenk G befindet sich stets in einem Punkt einer bestimmten seiten Geraden H (Kreis mit b = ∞).

Diese geradlinige Führung von G ist durch zwei gleiche geriffelte Rollen R₁ und R₂ (Fig. 12) bewirkt, die den Rahmen DE nur so auf dem Papier verschieben lassen, daß G in[144] einem Punkt der beliebig liegenden, aber festen Geraden H sich befindet. Ein großer Vorteil der Rollplanimeter ist unmittelbar klar: F kann sich in der Richtung von H beliebig weit erstrecken, man kann sehr große Flächen auf einmal umfahren und ausmessen. Würde das Instrument nach Andeutung der Figur ganz in der Art des gewöhnlichen Polarplanimeters vervollständigt, so würde die Gleichung F = N a u ohne weiteres gelten. Es wird aber (von Coradi-Zürich; die Idee der Rollenverschiebung ziemlich gleichzeitig von Amsler und von Hohmann) nur in der Form eines Scheiben- oder eines Kugelplanimeters gebaut, wie es Fig. 13 zeigt, die ein Kugelrollplanimeter darstellt, vgl. dazu [13]. Die beiden Rollen R vermitteln die geradlinige Führung des Wagens B B; beim Fahren überträgt die linke dieser Rollen ihre Bewegung durch ihre seine Riefelung auf ein Zahnrädchen, welches mit der Kugelkalotte K auf gleicher Achse sitzt. Der Fahrarm M F trägt die zu ihm selbst parallele Achse des Zylinders, auf welchem sich K. abwickelt; die Umdrehungen des Zylinders werden an der Meßrolle und einer die ganzen Umdrehungen zählenden Scheibe abgelesen. Bezüglich der übrigens einfachen Theorie muß auf die Literatur verwiesen werden.

Ein sehr interessantes Instrument zur Flächenbestimmung ist das Stangenplanimeter (Beilschneidenplanimeter) von Prytz, 1885 erfunden. Dieses (Fig. 14) besteht nur aus einer Stange, deren eines Ende der Fahrstift S, deren andres Ende die parallel zur Stange liegende Schneide A bildet. An Stelle dieser Schneide ist mehrfach, z.B. von Hamann, eine Rolle mit scharfem Rand gesetzt worden (wobei die Schneidenebene stets durch den Punkt S geht). So ist auch das (aus 1892 flammende und unabhängig von Prytz entstandene) Traktorienplanimeter von Kleritj eingerichtet, bei dem nur die Rolle in einem beweglichen Rahmen an der Stange sitzt. Ueber diese Instrumente vgl. [14]–[18].

Der Gebrauch des Instruments geht aus folgender Ueberlegung hervor: Umfährt man mit S eine Fläche F von einem Punkt des Umfangs aus, so beschreibt die Schneide A von einem durch leichten Druck auf die Anfangsstellung bezeichneten Punkt aus eine Kurve, deren Endpunkt ebenso festgehalten wird. Ist die Entfernung der beiden so erhaltenen Marken c (und sind die Dimensionen von F nicht groß im Verhältnis zur Länge a der Stange), so ist die Fläche F genähert a c; diese Näherung wird dadurch verbessert (die sogenannte Restfläche verkleinert), daß man nicht in einem Punkt des Umfangs die Umfahrung beginnt und endigt, sondern in die Umfahrung eine beliebige Linie O C (Fig. 15), die von dem geschätzten Schwerpunkt O von F ausgeht, in den Richtungen O C und C O (Fläche 0) miteinbezieht. Man hat nun zwei Umfahrungen zu machen, die zweite nach Drehung des Papiers um 180°; sind c₁ und c₂ die bei beiden Umfahrungen erhaltenen Strecken zwischen Anfangs- und Endstellung der Schneide, so ist

dabei bedeutet r die mittlere Entfernung des Punkts O von den Umfangspunkten der Fläche F. Ist a gegen r groß, so wird das zweite Glied in der Klammer klein. Genauigkeitsversuche haben ergeben, daß man bei diesem Instrument noch auf 0,5–1,0% rechnen kann, wenn r gegen a klein ist. Die Polarplanimeter geben noch 0,1% relative und etwa 0,4% absolute Genauigkeit, während die neueren Rollen- und Scheibenplanimeter noch größere Schärfe der Messungen erreichen lassen (bis zu 0,05% und darunter).

Allgemeine Literatur, Genauigkeit, Bezugsquellen, Preis. Zu den Grundlagen der allgemeinen Planimetertheorie vgl. außer den bereits erwähnten Schriften besonders [19], für alle Fortschritte der Planimeterkonstruktionen und der Planimetermessung die Titelsammlung der Publikationen, die Petzoldt alljährlich zusammenstellt [20], sowie die Referate von Hammer in [21] und [22]. – Das Beilschneiden- oder Stangenplanimeter in den verschiedenen Formen (Schneide oder Rolle) kostet 10–25 ℳ. (Bezugsquellen: für das ursprüngliche Instrument Knudsen in Kopenhagen; für das Rollenstangenplanimeter Hamann-Friedenau; für das Kleritjsche Instrument O. Leuner-Dresden); die gewöhnlichen Polarplanimeter in Messing oder Neusilber 35–60 ℳ., am besten zu beziehen von Amsler-Schaffhausen, Coradi-Zürich, Ott-Kempten; von den feineren Planimeterformen kostet z.B. das Kompensationsplanimeter Lang-Coradi 50–70 ℳ., Rollscheiben- und Rollkugelplanimeter und freischwebendes (»Präzisions«-)Scheibenplanimeter je nach Ausführung und Größe 80–180 ℳ. Die zuletzt genannten Instrumente (amtlich am besten von Coradi-Zürich zu beziehen). S.a. Integraph.

Literatur: [1] Zeitschr. für Vermess. 1893, S. 30; Kloth, ebend. 1893, S. 338, zu beziehen von Katasterkontrolleur Kloth in Osnabrück; Láska, Sammlung von Formeln u.s.w., Braunschweig 1886/94, S. 232–236; ferner Mansion, Sur l'évalution des aires planes, Gent 1882. – [2] Zeitschr. für Vermess. 1895, S. 331; ebend. 1896, S. 443. – [3] Ueber Poncelet-Parmentiers Regel (genauer als Simpson) s. Nouv. Annales de Mathém. 1855, Oktober. – [4] Bauernfeind, Handbuch der Vermessungskunde, 7. Aufl. 1890, Bd. 2, S. 228. – [5] Favaro, Beiträge zur Geschichte der Planimeter, Allgem. Bauztg. (Förster) 1873, S. 68 und 93 (Bibliographie 1815–1872); Henrici, Report on Planimeters, British Assoc. for the advancement of Sciences, Oxford 1894; Trunk, Die Planimeter (Theorie, Praxis, Geschichte), Halle 1865; Fischer, Die mechanische Planimetrie, Zürich 1868. – [6] Lorber, F., Ueber die Genauigkeit der Planimeter, Sonderabdruck aus Oesterr. Zeitschr f. Berg- u. Hüttenw. XXXI (1883), 1; Bauernfeind, Zur Geschichte der Planimeter, Dingl. Polyt.[145] Journ. 1855. – [7] Hammer, Zeitschr. f. Instrumentenkunde 1895, S. 94–97; ferner Anleitung zum Gebrauch des gewöhnl. Polarplanimeters von Coradi-Zürich, von dem Genannten zu beziehen. – [8] Die Preisverzeichnisse von Amsler-Schaffhausen und von Coradi-Zürich; Ref. von Hammer in Zeitschr. f. Instrum. 1896, S. 361, 1897, S. 224; Beschreibung in Sonderabdruck, von Coradi zu beziehen. – [9] Vogler, Prakt. Geometrie, Bd. 1, Braunschweig 1885, S. 593. – [10] Lang, Zeitschr. f. Vermess. 1894, S. 353 (bereits mit Genauigkeitsnachweisen). – [11] Jordan, Handbuch der Vermessungskunde, Bd. 2, 6. Aufl., 1904, S. 132; Hohmann, Das freischwebende Präzisionsplanimeter, Erlangen 1883 (Anhang: Auseinandersetzung so ziemlich aller möglichen Polarplanimeteranordnungen). – [12] Ueber die Kugelplanimeter speziell: Coradi, Die Kugelplanimeter, Zürich 1898; Lorber, Coradis Kugelplanimeter, Zeitschr. für Vermess. 1888, S. 161. – [13] Jordan, Handbuch der Vermessungskunde Bd. 2, 1904, S. 134 ff. – [14] Traktoriograph, Belgrad 1896 (in serbischer Sprache); Dinglers Polytechn. Journ., Bd. 305 (1897), Heft 10 und 11. – [15] Von Knudsen, Kopenhagen, zu beziehen. – [16] Runge, Zeitschr. für Vermess. 1895, S. 321. – [17] Hamann, ebend. 1896, S. 643. – [18] Jordan, S. 136–140; Hammer, Zeitschr. für Instrum. 1895, S. 90, und besonders 1905, S. 347 ff. – [19] Amsler (sen.), lieber die mechanische Bestimmung des Flächeninhalts ebener Figuren, Schaffhausen 1856 (aus der Schweiz. Vierteljahrsschrift 1856; erste Theorie des Polarplanimeters); Amsler (jun.), Ueber den Flächeninhalt und das Volum durch Bewegung erzeugter Kurven und Flächen, Schaffhausen 1880; Hele-Shaw, On mechanical Integrators, Proc. Inst. Civ. Eng., Bd. 82, 4. Heft. – [20] Zeitschr. für Vermessungswesen, Uebersicht der Literatur alljährlich. – [21] Zeitschr. für Instrumentenkunde (fortlaufend seit 1894). – [22] Hammer, Bericht über die Fortschritte der Kartenentwurfslehre und der Kartenmessung, im Geograph. Jahrbuch, (herausgegeben von Herrn. Wagner, Gotha), Bd. 17, 19. 20.

Fig. 1.

Fig. 2.

Fig. 3.

Fig. 4., Fig. 5., Fig. 6., Fig. 7.

Fig. 8.

Fig. 9.

Fig. 10.

Fig. 11.

Fig. 12.

Fig. 13.

Fig. 14.

Fig. 15.