Reduktion [3]

Reduktion der Winkelgeschwindigkeiten und der Kräfte am starren Körper. Der Geschwindigkeitszustand eines unveränderlichen Punktsystems (starren Körpers) ist im allgemeinen eine Windungsgeschwindigkeit, bestehend in einer Winkelgeschwindigkeit ω um die Momentanachse (s.d.) und einer Translationsgeschwindigkeit v₀ parallel dieser. Diese Windungsgeschwindigkeit (ω₁, v₀) Hellt auf die einfachste Art den Geschwindigkeitszustand des Systems dar. Nun kann dieser aber ein zusammengesetzter sein, d.h. er kann aus einer gleichzeitigen Verbindung von irgendwelchen Winkel- und Translationsgeschwindigkeiten entspringen. Ist dies der Fall, so kann gefordert werden, die aus diesen resultierende Windungsgeschwindigkeit zu finden. Dieses Problem ist das Problem der Reduktion der Winkelgeschwindigkeiten. Seine Lösung verläuft durchaus ähnlich der Reduktion der Kräfte und Kräftesysteme, die in dem Art. Aequivalenz der Kräfte (Bd. 1, S. 86) auseinandergesetzt wurde. Vgl. a. Aequivalenz unendlich kleiner Drehungen und Schraubungen (Bd. 1, S. 85).

Da sich jede Translationsgeschwindigkeit als ein Paar von Winkelgeschwindigkeiten darstellen läßt (s. Rotation), so kann das Problem so gestellt werden: Es sind n Winkelgeschwindigkeiten ω₁, ω₂ ...ω_n eines Systems um n Achsen a₁, a₂ ... a_n gegeben; man soll die aus ihnen resultierende Windungsgeschwindigkeit (ω₀, v₀) nach Größe und Achsenlage bestimmen. Trägt man auf jeder Achse a_i die betreffende Winkelgeschwindigkeit ω_i als Strecke auf, so kann dies Streckensystem zunächst auf mannigfache Art durch ein ihm äquivalentes dargestellt werden. Denn zieht man durch irgendeinen Punkt O des Systems mit jeder Achse a_i eine Parallele und trägt auf ihr ω_i und –ω_i in entgegengesetztem Sinne auf, d.h. erteilt man dem Punktsystem um diese Parallele zwei entgegengesetzt gleiche Winkelgeschwindigkeiten ω_i, so erhält man an Stelle der ω_i um die verschiedenen Achsen a_i das Aggregat aller ω_i um die Parallelen des Punktes O in Verbindung mit einem Aggregat von Paaren (ω_i, – ω_i), deren Arme die von O auf die Achsen a_i gefällten Perpendikel p_i sind und deren Achsenmomente ω_i p_i Translationen senkrecht zu den Ebenen der Paare darstellen. Das Aggregat allerω_i um die durch O geführten Parallelen zu den Achsen a_i ist aber nach dem Polygon der Winkelgeschwindigkeiten äquivalent einer Winkelgeschwindigkeit ω = Σ [ω_i] um eine bestimmte Achse μ, die Schlußlinie des Polygons und das zweite Aggregat aller ω_i p_i ist äquivalent einer Translationsgeschwindigkeit v = Σ [ω_i p_i], dargestellt durch die Schlußlinie v des Polygons der Achsenmomente ω_i p_i; v₀ wird im allgemeinen geneigt sein gegen die Achse μ. Mit Hilfe der Theorie der Zentralachse (s.d.) des Streckensystems der ω_i kann aber nun die dem System der ω_i äquivalente Verbindung (ω, v) ersetzt werden durch die Winkelgeschwindigkeit ω um eine gewisse Achse μ₀, parallel μ, in Verbindung mit der Translationsgeschwindigkeit v₀ = v cos λ, wenn λ den Winkel (v, μ) bezeichnet, so daß (ω, v₀) die gesuchte Windungsgeschwindigkeit um die Zentralachse der Winkelgeschwindigkeiten ω_i, d.h. die gesuchte Reduktion dieser ω_i darstellt. Die Zentralachse liegt in der Ebene, die durch μ senkrecht zur Ebene des Winkels λ gelegt werden kann, in einem solchen Abstande r von μ, so daß ω r = v sin λ wird. Von der Zentralachse, μ₀ und der Reduktion (ω, v) für sie kann man alle andern Darstellungsweisen des Geschwindigkeitszustandes erhalten. Indem man mit dieser Achse im Abstande r eine Parallele μ zieht und dem System um diese die entgegengesetzten Winkelgeschwindigkeiten ω und –ω erteilt, überzeugt man sich leicht, daß der Geschwindigkeitszustand des Systems äquivalent ist der Winkelgeschwindigkeit ω = Σ [ω_i] um μ in Verbindung mit einer Translationsgeschwindigkeit v = [v₀² + r²ω²]^1/2, geneigt gegen μ unter einem Winkel ψ, wofür tg ψ = ω/v₀ r ist. Man erkennt leicht, daß v die Geschwindigkeit der Punkte der Achse μ ist. Man kann daher den Geschwindigkeitszustand des Systems darstellen durch eine Translationsgeschwindigkeit gleich der Geschwindigkeit v irgend eines Systempunktes in Verbindung mit der Winkelgeschwindigkeit ω = Σ [ω_i] um eine durch den Punkt gehende, zur Zentralachse parallele Achse. Weitere Reduktionen des Geschwindigkeitszustandes auf zwei Winkelgeschwindigkeiten um zwei sich kreuzende Achsen, Konstruktionen der Zentralachse, die Bedeutung der Spezialfälle sowie der Zusammenhang des Komplexes ersten Grades, der von den sämtlichen Normalen der Bahnen der Systempunkte gebildet wird mit den Reduktionen, s. bei Schell, Theorie der Bewegung und der Kräfte, 2. Aufl., Leipzig 1879, Bd. 1, S. 215–218. Das analoge Problem der Reduktion von n gleichzeitigen Beschleunigungszuständen auf einen resultierenden Beschleunigungszustand eines unveränderlichen Systems ist ungleich schwieriger als das hier behandelte der Reduktion von n Geschwindigkeitszuständen. Eine Lösung derselben ist für ebene Systeme und n = 2 gegeben worden von Wittenbauer: »Ueber den Beschleunigungspol der zusammengesetzten [373] Bewegung« in Schlömilchs Zeitschrift für Mathematik und Physik, Jahrgang 40, S. 151. bis 158.

(Schell) Finsterwalder.