Elliptische Integrale und Funktionen

Elliptische Integrale und Funktionen. Kommt in einem Integral unter dem Integralzeichen eine Quadratwurzel aus einem Ausdruck 3. oder 4. Grades in x vor, so wird dasselbe als ein elliptisches Integral bezeichnet.

Man unterscheidet hierbei drei Gattungen: a) Das elliptische Integral erster Gattung hat die Normalform

oder mit x = sin φ:

es wird für keinen Wert von x unendlich, b) Das elliptische Integral zweiter Gattung hat die Normalform:

oder mit: = sin φ.

es wird nur für einen Wert von x (nämlich x = ∞) algebraisch unendlich, c) Das elliptische Integral dritter Gattung hat die Normalform

oder mit x = sin φ:

Es wird für die zwei Werte x = ± h logarithmisch unendlich. Auf diese drei Gattungen kann jedes elliptische Integral zurückgeführt werden. Uebrigens lassen sich die Integrale zweiter Gattung auf Differentialquotienten der Integrale dritter Gattung nach dem Parameter n zurückführen. Die elliptischen Integrale sind doppelt unendlich vieldeutig. Auf sie führen manche bekannte Aufgaben: das ebene und sphärische Pendel, die Rektifikation der Ellipse und der Lemniskate.

[438] Bestimmt man in

φ als Funktion von u, so bekommt man eine neue Funktion φ = am u (Amplitude u); daher folgt aus

(Sinus amplitude u). Diese und die Funktionen

heißen elliptische Funktionen. Indem man dieselben als Argumente in die elliptischen Integrale zweiter und dritter Gattung einführt, erhält man die elliptischen Transzendenten

wo a Modul heißt.

Mittels der Formel: Π (u, a) = Π (a, u) + u E(a) – a E(u) kann man die Transzendente dritter Gattung auf eine andre solche zurückführen, in welcher Argument und Modul vertauscht sind. Die Ableitung der Transzendente Π (u, a) nach a läßt sich durch Transzendenten E (a + u) und E(a – u) ausdrücken. Additionstheorem der elliptischen Funktionen:

Die elliptischen Funktionen sind doppeltperiodisch, z.B. hat sin am u die zwei Perioden

Als Weierstraßsche Normalform des elliptischen Integrals 1. Gattung bezeichnet man das Integral

Die Umkehrung desselben ist die doppeltperiodische p-Funktion.

Litteratur: Von den angeführten Werken eignet sich [1] zur ersten Einführung; zum Studium ist [4] am meisten zu empfehlen, [3] und [4] benutzen funktionentheoretische Hilfsmittel, ohne dieselben jedoch als bekannt vorauszusetzen; [5] geht namentlich auf die Transzendenten zweiter und dritter Gattung ein, während [6] die Modulfunktionen behandelt. In [7]–[9] finden sich Tafeln zur Berechnung der elliptischen Integrale und Funktionen. – [1] Bobek, K., Einleitung in die Theorie der elliptischen Funktionen, Leipzig 1884. – [2] Durège, Theorie der elliptischen Funktionen, 4. Aufl., Leipzig 1887. – [3] Königsberger, L., Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Funktionen I und II, Leipzig 1874. – [4] Briot et Bouquet Théorie des fonctions elliptiques, Paris 1875. – [5] Krause, M., Theorie der doppelperiodischen Funktionen einer Veränderlichen, I, Leipzig 1895. – [6] Klein, F., Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen, ausgearbeitet von R. Fricke, I und II, Leipzig 1891–93. – [7] Légendre, Tratte des fonctions elliptiques et des integrales Eulériennes, II vol., Paris 1826. – [8] Schmidt, J.G., System elliptischer Bogen zur Erleichterung der Integralrechnung, Berlin 1842. – [9] Houël, Recueil de formules et de tab. numériques, 3. Aufl., Paris 1889. – [10] Burkhardt, K., Einführung in die Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen II, Leipzig 1899. – [11] Hermité, C., Uebersicht über die Theorie der elliptischen Funktionen, deutsch von Natani, Berlin 1863. – [12] Riemann, B., Elliptische Funktionen, herausgegeben von H. Stahl, Leipzig 1899. – [13] Weierstraß, K., Formeln und Lehrsätze zum Gebrauch der elliptischen Funktionen, herausgegeben von H. Schwarz, 2. Aufl., Berlin 1902. – [14] Thomae, Sammlung von Formeln und Sätzen aus dem Gebiet der elliptischen Funktionen, nebst Anwendungen, Leipzig 1905.

Wölffing.