Zugelastizität

Zugelastizität wird die Elastizität (s.d.) gegen Beanspruchungen auf Zug (Bd. 3, S. 392, 711) genannt. Bei Versuchen in dieser Hinsicht pflegen prismatische Körper (Stäbe, Würfel) allmählich wachsenden Kräften P parallel ihrer Achse und möglichst gleichmäßig verteilt auf die Endquerschnitte ausgesetzt zu werden (Näheres bezüglich der Versuchsanordnung s. Zugversuch und [22], S. 39, [35], S. 103).

Bezeichnen F die ursprüngliche Länge (Fig. 1), F den ursprünglichen Querschnitt, d λ = d l/l die elastische Dehnung (Verlängerung pro Längeneinheit von l) durch eine Aenderung der Spannung σ = P/F (Zug pro Flächeneinheit von F) um d σ, dann heißt in

d σ = E d λ = E dl/l, d P = E F d λ = E F dl/l

1.

E der Elastizitätsmodul oder speziell der Zugelastizitätsmodul des Stabs in der Längsrichtung [9], S. 119 (vgl. Elastizitätsmodul, Elastizitätsgesetz, Druckelastizität, Schubelastizität, Torsionselastizität). Derselbe bedeutet also das Verhältnis der Spannungszunahme d σ zur Dehnungszunahme d λ, während ε = 1/E das Verhältnis der Dehnungszunahme d λ zur Spannungszunahme d σ darstellt. Werden die Spannungen als Ordinaten bei den entsprechenden elastischen Dehnungen als Abszissen angetragen (Fig. 2, vgl. Dehnung) und bezeichnet φ den Neigungswinkel der entstehenden σ-Kurve bei λ, σ, dann hat man E = d σ/d λ = tg φ.

Für manche Materialien, insbesondere für Schweißeisen, Flußeisen und Stahl, ist E innerhalb der gebräuchlichen Beanspruchungen nahezu konstant, womit aus 1.:

σ = E λ = E Δl/l, P = E F λ = E F Δl/l,

2.

unter Δ l die ganze elastische Längenänderung durch die Spannung σ verstanden. Die Grenze σ = p, bis zu welcher die hierdurch ausgedrückte Proportionalität zwischen σ und λ, d.h. auch zwischen σ und Δ l oder zwischen P und λ, Δ l besteht, wird Proportionalitätsgrenze genannt, häufig auch Elastizitätsgrenze (s.d.), wenn nämlich angenommen wird, daß unterhalb dieser Grenze nur elastische Längenänderungen in Betracht kommen, oberhalb derselben aber auch erhebliche bleibende Deformationen eintreten. Ueber Beziehungen zwischen Dehnungen λ. und Spannungen σ für Fälle, in welchen keine Proportionalität zwischen denselben besteht und also der Elastizitätsmodul E in 1. veränderlich ist, s. Elastizitätsgesetz.

Ueber das Verhalten von Schweißeisen, Flußeisen u.s.w. oberhalb der Proportionalitätsgrenze, insbesondere über die Streckgrenze, Bruchdehnung, Kontraktion s. Dehnung, Bd. 2, S. 693, und Kontraktion, Bd. 5, S. 610, über die Arbeit zur Erzeugung der Formänderungen s. Verschiebungsarbeit und Arbeitskapazität, vgl. Qualitätszahlen. Unter Dehnung sind entsprechende Zahlenwerte mitgeteilt. Wir führen als weitere Beispiele an die Mittelwerte, welche Tetmajer mit Eisen von de Wendel in Hayingen erhielt [15], IV, S. 106, 114, 130, 136:

Weitere Formeisen, -Eisen, Zoreseisen, Bleche s. [15], IV, S. 138, 181, 187, 194, 202. Ueber den Einfluß verschiedener Beimengungen, mechanischer Behandlung, hoher und niedriger Temperaturen, von Erwärmen und Abkühlen, Härten und Ausglühen, Wechsel von Zug und Druck und mehrfach wiederholter Anstrengungen s. [4], [10], [14], [22], [27], [33]. Bezüglich der Form und Größe der Querschnitte s. [30], [35] und Zugfestigkeit. Für viele Materialien (Gußeisen,[1022] zähes Flußeisen, Kupfer, Bronze, Messing, Beton u.s.w.) sind mehrere Wiederholungen der Beanspruchungen nötig, um eine bis zu deren Höhe nicht mehr veränderliche Beziehung zwischen λ und σ zu erreichen [22], S. 217, [35], S. 15, 27, 42 u.s.w.

Beim Stahl sind die Elastizitäts- und Festigkeitsverhältnisse besonders vom Kohlenstoffgehalt abhängig, doch zeigt sich der Elastizitätsmodul am wenigsten beeinflußt. Wir geben in Tabelle I Resultate, welche Bauschinger bei Versuchen mit dem auch in den Artikeln über Druckelastizität, Biegungselastizität, Torsionselastizität, Schubfestigkeit vorgeführten Ternitzer Bessemerstahl erhielt [5]. Die Versuchsstücke waren speziell zu diesem Zwecke von gleicher Gattierung, aber verschiedenem Spiegeleisenzusatze hergestellt.

Die angeführten Zahlen wurden mit Stäben von 44 cm freier Länge und 7/1,2 cm Querschnitt erhalten und sind Mittel aus je zwei Versuchen. Die Elastizitätsgrenze ist etwas höher als bei späteren Versuchen Bauschingers (wo sie die Proportionalitätsgrenze bedeutet) angenommen, etwa in der Mitte zwischen Proportionalitätsgrenze und Streckgrenze.

Für Gußeisen, Steine, Beton u.s.w. ist der Elastizitätsmodul E in 1. veränderlich, und zwar pflegt er mit wachsender Spannung abzunehmen, so daß die Dehnungen λ schneller als die Spannungen σ wachsen. Wird für solche Fälle anstatt E ein Mittelwert E' eingeführt, welcher von σ = 0 bis σ = σ die gleiche Dehnung λ bedingt, wie das variable E, so folgt ganz entsprechend 2.:

Für diesen Mittelwert hat man in Fig. 2 E' = σ/λ = tg ψ. Aus 3. sind beispielsweise nach den in Tabelle II angeführten mittleren Versuchsresultaten Hodgkinsons für Gußeisen von 0 bis a die Werte von E' der fünften Kolumne berechnet, während sich die Werte der letzten Kolumne ergeben, wenn in 3. anstatt der elastischen die vollständigen Verlängerungen verwendet werden, wie dies früher häufig geschah. Die gewöhnlich zugelassenen σ reichen etwa bis σ = 300 kg. Vielfach nimmt E' für Gußeisen rascher als in Tabelle II ab. Entsprechende Versuchsresultate für Druck s. Bd. 3, S. 118.

[1023] Anstatt von 0 bis σ kann man auch für andre Intervalle, von Anfangswerken σ_a, λ_a bis zu Endwerten σ_e, λ_e der Größen σ, λ Mittelwerte E' von E einführen, womit aus 1. folgen:

σ_e – σ_a = E' (λ_e – λ_a), P_e – P_a = E'F (λ_e – λ_a).

4.

Für diesen mittleren Elastizitätsmodul hat man in Fig. 5 E' = (σ_e – σ_a)/(λ_e – λ_a) = tg ω. Nach 4. sind z.B. die Werte der letzten Kolumne von Tabelle III berechnet, welche Versuchsresultate Bachs mit einem Stab von 10,5/14,07 cm Querschnitt aus feinkörnigem blauem Granit von Edenfeld in Bayern wiedergibt, dessen Druckfestigkeit 1006 kg, Biegungsfestigkeit 83 kg, Torsionsfestigkeit 77,6 kg und Zugfertigkeit 45,4 kg waren [20], S. 247. Jede Belastung und volle Entlastung wurde so oft wiederholt, bis keine Aenderung der Verlängerungen mehr eintrat.

In Tabelle IV sind Versuchsresultate von Winkler [6] mit Kautschuk angeführt, bei welchen in je zwei zusammengehörigen Dehnungen λ. auch die elastische Nachwirkung (s. Bd. 3, S. 378) hervortritt. Die E sind auf Grund der sofort erhaltenen λ berechnet.

Bei Beton kommt für die Elastizität und Fertigkeit sowohl der Wasserzusatz wie das Alter in Betracht. Versuche in der Materialprüfungsanstalt Stuttgart, [38], S. 27, mit Probekörpern aus 1 Teil Mannheimer Zement und 3–4 Teilen Rheinsand und -kies, 80–90 Tage alt, ergaben die Elastizitätsmoduln für Zug und Druck und die Zugfestigkeit bei 8% Wasserzusatz durchgängig größer als bei 14%. Den Einfluß des Alters auf den Zugelastizitätsmodul bei Probekörpern der Zusammensetzung 1 : 3 mit 14% Wasserzusatz läßt Tabelle V erkennen. Die λ, E' des 3 Monate alten Betons sind Mittel aus je drei Versuchen, die λ, E' des 2 Jahre alten Betons wurden für je einen Probekörper erhalten.

[1024] Die obigen Gleichungen setzen konstanten Querschnitt F voraus. Ist der letztere veränderlich, d.h. im allgemeinen nur auf eine Länge d x konstant (Fig. 8), dann gilt nach 1. für diese Länge:

womit für den ganzen Stab an Stelle von 2. tritt:

Ist E innerhalb der Beanspruchungsgrenzen konstant oder wird ein konstanter Mittelwert £ eingeführt, welcher von 0 bis P die gleiche Längenänderung Δ l bewirkt, wie das variable E, so liefert 6. entsprechend 2.:

Soll bei vertikalem Stabe das Eigengewicht berücksichtigt werden, so hat man in 5. und 6. d(P + G) und P + G an Stelle von d P und P zu setzen, unter G das Eigengewicht vom Querschnitt F bis zu dem durch P ergriffenen freien Ende verbanden, während an Stelle von 7. tritt:

Diese Formel liefert z.B. für Körper von gleichem Widerstande (Bd. 5, S. 540) wegen konstantem σ = (P + G)/F:

Δl = λ l = (σ/E)l

9.

Kommt die Kraft P nicht, wie oben angenommen, allmählich anwachsend, sondern für den ganzen Stab sofort mit vollem Werte zur Wirkung, so entsteht zunächst eine größere Verlängerung, als oben ausgedrückt (bei konstanten E, F theoretisch eine doppelt so große als nach 3.), worauf Schwingungen um die Gleichgewichtslage stattfinden, welche infolge Abgabe lebendiger Kraft nach außen, Umwandlung in Wärme u.s.w. rasch abnehmen, bis die den obigen Längenänderungen Δ l, λ entsprechende Gleichgewichtslage erreicht ist (s. [9] Aufg. S. 75, 254, 277).

Literatur: [1] Morin, Résistance des matériaux, Paris 1853, S. 1. – [2] Winkler, Die Elastizitäts- und Festigkeitskoeffizienten, Civilingenieur 1862, S. 405. – [3] Ders., Die Lehre von der Elastizität und Fertigkeit, Prag 1867, S. 37. – [4] v. Kaven, Kollektaneen über einige zum Brückenbau verwendete Materialien: Schmiedeeisen, Stahl und Gußeisen, Zeitschr. d. Arch.- u. Ing.-Ver. zu Hannover 1868, S. 433. – [5] Bauschinger, Versuche über die Fertigkeit des Bessemerstahls von verschiedenem Kohlenstoffgehalt, Mitt. aus d. mech.-techn. Laboratorium zu München, Heft III, 1874. – [6] Winkler, Deformationsversuche mit Kautschukmodellen, Civilingenieur 1878, S. 81. – [7] Grashof, Theorie der Elastizität und Fertigkeit, Berlin 1878, S. 42. – [8] Fischer, Ueber Deutung und Genauigkeit von Fertigkeitsdiagrammen, Dingl. Polyt. Journ. 1884, Bd. 251, S. 337, 385. – [9] Weyrauch, Theorie elast. Körper, Leipzig 1884, S. 119, 210 u.s.w. (auch Aufgaben dazu, Leipzig 1885, S. 75, 121, 254, 257, 277 u.s.w.). – [10] Bauschinger, Ueber die Veränderung der Elastizitätsgrenze und der Fertigkeit des Eisens und Stahls durch Strecken und Quetschen, durch Erwärmen und Abkühlen und durch oftmals wiederholte Beanspruchung, Münchener Mitteil. XIII, 1886. – [11] Winkler, Die hölzernen Brücken, Wien 1887, S. 13. – [12] Bach, Elastizität von Treibriemen und Treibfeilen, Zeitschr. d. Ver. deutsch. Ing. 1887, S. 221, 241. – [13] Bauschinger, Versuche über die Elastizität und Fertigkeit von Treibriemen, Seilen und Ketten, Münchener Mitteil. XVII, 1888. – [14] Weyrauch, Die Fertigkeitseigenschaften und Methoden der Dimensionenberechnung von Eisen- und Stahlkonstruktionen, Leipzig 1889. – [15] Tetmajer, Methoden und Resultate der Prüfung der Festigkeitsverhältnisse des Eisens und andrer Metalle, Mitteil. d. Anstalt zur Prüfung von Baumat. in Zürich, IV, 1890, S. 30, 105, 244, 285; IX, 1900, S. 31, 72, 126, 170. – [16] Undeutsch, Spannungen aufgehängter prismatischer Körper, hervorgerufen durch statische und dynamische Einwirkungen, Freiberg 1892 (auch Oesterr. Zeitschr. f. Berg- u. Hüttenwesen 1892). – [17] Rudeloff, Untersuchungen von Treibriemen auf Elastizität und Fertigkeit, Mitteil. d. Versuchsanstalten in Berlin 1892, X, S. 255; 1893, XI, S. 4. – [18] Hartig, Der Elastizitätsmodul des geraden Stabs als Funktion der elastischen Dehnung, Civilingenieur 1893, S. 123, 135, 319. – [19] Ders., Das elastische Verhalten der Mörtel- und Mörtelbindematerialien, Civilingenieur 1893, S. 435; 1894, S. 717. – [20] Bach, Untersuchung von Granit in bezug auf Zug-, Druck-, Biegungs- und Schubfestigkeit sowie in Hinsicht auf Zug-, Druck- und Biegungselastizität; Allgemeines Gesetz der elastischen Dehnungen, Zeitschr. d. Ver. deutsch. Ing. 1897, S. 241 (s.a. 1898, S. 78, 516; 1902, S. 25). – [21] Schule, Ueber das Gesetz der elastischen Längenänderung prismatischer Körper durch Zug und Druck, ebend. 1898, S. 855 (s.a. 1902, S. 1512, 1840; 1903, S. 1014). – [22] Martens, Handbuch der Materialienkunde für den Maschinenbau, Berlin 1898, S. 17. – [23] Bach, Ermittlung der Zug- und Druckelastizität an dem gleichen Versuchskörper, Zeitschr. d. Ver. deutsch. Ing. 1898, S. 35. – [24] Foeppl, Vorlesungen über technische Mechanik, III. Festigkeitslehre, Leipzig 1900, S. 6, 39. – [25] Bach, Versuche über das Arbeitsvermögen und die Elastizität von Gußeisen mit hoher Zugfestigkeit, Zeitschr. d. Ver. deutsch. Ing. 1900, S. 409 (s.a. 1901, S. 108, und bezüglich Hartguß 1899, S. 857). – [26] Ders., Zur Frage der Proportionalität zwischen Dehnungen und Spannungen beim Sandstein, ebend. 1900, S. 1169. – [27] Schäfer, Ueber den Einfluß der Temperatur auf die Elastizität der Metalle, »Stahl und Eisen« 1900, S. 1024 (s.a. Literatur zu Zugfestigkeit). – [28] Thomas, Der longitudinale Elastizitätskoeffizient bei Zimmertemperatur und bei höheren [1025] Temperaturen, Annalen d. Physik 1900, I, S. 232. – [29] Handbuch der Ingenieurwissenschaften, II. Der Brückenbau, 2. Abt., Leipzig 1901, S. 66 (Der Baustoff und seine Widerstände von Brik). – [30] Meyer, O., Ueber den Einfluß der Form und Dimension der Probestäbe auf die Ergebnisse der Zugversuche, Mitteil. d. technol. Gewerbemuseums in Wien, 1902, S. 91 (Resultate S. 132). – [31] Bach, Die Elastizitäts- und Festigkeitseigenschaften der Eisensorten (Schweißeisen, Flußeisen, Flußstahl, Gußeisen), für welche nach dem der Veröffentlichung vorhergehenden Aufsatz die Ausdehnung durch die Wärme ermittelt worden ist, Zeitschr. d. Ver. deutsch. Ing. 1902, S. 1536. – [32] Chwolson, Lehrbuch der Physik, I, Braunschweig 1902, S. 700. – [33] Tetmajer, Die angewandte Elastizitäts- und Festigkeitslehre, Leipzig und Wien 1904, S. 8, 184. – [34] Bach, Zum Begriff Streckgrenze, Zeitschr. d. Ver. deutsch. Ing. 1904, S. 1040; 1905, S. 615. – [35] Ders., Elastizität und Festigkeit, Berlin 1905, S. 1, 91. – [36] Keck-Hotop, Vorträge über Elastizitätslehre, 1, Hannover 1905, S. 49. – [37] Wüllner, Lehrbuch der Experimentalphysik, I, Leipzig 1907, S. 218. – [38] Mörsch, Der Eisenbetonbau, Stuttgart 1908, S. 25. – S.a. Zugfestigkeit. Zug, exzentrischer, Körper von gleichem Widerstände, Elastizitätsgesetz, Elastizitätsmodul, Elastizitätsquotient, Elastizitätsgrenze, Elastische Nachwirkung, Elastizitäts- und Festigkeitslehre u.s.w.

Weyrauch.

Fig. 1.

Fig. 2.

Fig. 3.

Fig. 4., Fig. 5.

Fig. 6.

Fig. 7.

Fig. 8.