Höhenmessungen

Höhenmessungen. In der Geodäsie unterscheidet man drei verschiedene Methoden der Bestimmung von Höhenunterschieden und dementsprechend verschiedene Höhenmessungsverfahren.

1. Wird der Höhenunterschied unmittelbar gebildet durch Herstellung kurzer horizontaler Ziellinien mit dem Nivellierinstrument, Niveau oder Kanalwage und Ablesung an lotrecht gestellten Nivellierlatten, so hat man nivellitische Höhenmessung, Nivellierung (Nivellement, Einwägung), zur Unterscheidung von den folgenden Methoden auch »geometrische« Nivellierung (Nivellement) genannt.

[92] 2. Wird der Höhenunterschied gewonnen durch Messung des Winkels zwischen Ziel- und Lotlinie und der Entfernung der Punkte, so hat man trigonometrische Höhenmessung (trigonometrische Nivellierung).

3. Wird der Höhenunterschied gebildet aus den an den betreffenden Punkten beobachteten Luftdrucken mit Hilfe des Barometers, so hat man die barometrische Höhenmessung, die man auch unter Hinzurechnung der thermischen Höhenmessung mit dem Siede- oder Kochthermometer als physikalische Höhenmessung bezeichnet.

Von diesen drei Methoden liefert die Nivellierung mit dem Nivellierinstrument die genauesten Resultate. Die für die Landesvermessung und Erdmessung (vgl. Geodäsie) angewendete Feinnivellierung gestattet, zwei Punkte von 1 km Entfernung bei etwa zehn Zwischenaufstellungen mit einem mittleren Fehler von etwa ± 1 mm zu bestimmen, während es bei Nivellierungen für technische Zwecke nicht schwer hält, selbst mit einfachen Apparaten diesen Fehler innerhalb der Grenzen von ± 5 mm bis ± 10 mm zu halten. Darauf folgt der Genauigkeit nach zunächst die trigonometrische Höhenmessung. Sie findet Anwendung in Verbindung mit trigonometrischen Netzen niederer Ordnung (dritter und vierter Ordnung) – s. Triangulierung –, wobei für solche Höhenunterschiede eine Genauigkeit von etwa rund ± 0,1 m zu erreichen ist, und ferner in der Tachymetrie in Verbindung mit der Distanzmessung auf Entfernungen bis zu einigen hundert Metern, wobei für die Höhenunterschiede bei diesen kurzen Entfernungen etwa die gleiche Genauigkeit erzielt wird. Die geringste Genauigkeit gewährt die barometrische Höhenmessung, wobei im günstigsten Fall für die Höhenunterschiede bei diesen kurzen Entfernungen, exaktem Verfahren und guten Instrumenten eine Genauigkeit von ± 1 m erzielt werden kann.

In bezug auf Arbeitsaufwand und Kosten findet die gleiche Reihenfolge statt; den größten Arbeits- und Kostenaufwand beansprucht die geometrische Nivellierung, den geringsten die barometrische Höhenmessung, weshalb die letztere für manche technische Zwecke sehr empfehlenswert ist.

Die Ergebnisse der verschiedenen Höhenmessungen werden dargelegt in Höhenverzeichnissen, in Karten und Profilen. Die Verzeichnisse dienen besonders zur Zusammenstellung der Höhen der Festpunkte für die Landeshöhennetze und andre ausgedehnte Höhenbestimmungen, während Karten und Profile besonders für die Darstellung der Geländeoberfläche in topographischen Karten und für besondere technische Zwecke, Eisenbahn-, Straßen-, Wasserbau, Meliorationen u.s.w. Anwendung finden. Werden in den Karten nach den eingetragenen Höhenzahlen (Koten) Linien gleicher Höhe konstruiert, so erhält man Höhenlinien (Höhenkurven, Horizontalkurven, Niveaulinien, Schichtenlinien); Karten, in denen die Höhenverhältnisse durch diese Linien zum Ausdruck gebracht sind, nennt man Höhenkurven- u.s.w. Karten. Bei der Darstellung von lotrechten Schnitten durch die Geländeoberfläche (Profile) werden die Schnittlinie mit der Nullfläche oder einer hierzu parallelen Fläche als eine gerade Linie (Abszisse) und die Höhen (Lotlinien) als parallele hierauf rechtwinklig stehende Linien (Ordinaten) aufgezeichnet.

1. Nivellieren (s.d.). 2. Trigonometrische Höhenmessung.

Bei den größeren trigonometrischen Höhenmessungen erfolgt die Bestimmung der Höhenunterschiede durch Messung von Höhenwinkeln bezw. Zenitdistanzen mit dem Theodoliten im Zusammenhang mit der Horizontaltriangulierung (s. Triangulierung). Ihre hauptsächlichste Anwendung findet sie zurzeit bei den Kleintriangulierungen der Landesvermessungen, um die Höhen von trigonometrischen Punkten als Unterlage für topographische und tachymetrische Aufnahmen zu gewinnen.

In der Figur bedeuten h₁ und h₂ die vom Vermessungshorizont N N in den Lotlinien gerechneten Höhen der Punkte 1 und 2; s die aus der Triangulierung gewonnene Entfernung (Erdbogen); der Bogen 1–2 die infolge der terrestrischen Refraktion gekrümmte Lichtbahn; 1–2' die in 1 hieran gezogene Tangente (Zielrichtung des Instruments in 1); 1–1' die Tangente (Horizontale = scheinbarer Horizont) an den Bogen 1–1'' (wirklicher Horizont von 1, als parallel zu N N aufgefaßt); R den Krümmungsradius des Vermessungshorizonts N N; φ den von den Lotlinien der Messungspunkte 1 und 2 eingeschlossenen Winkel; endlich z₁ und α₁ die in dem Punkte 1 gemessenen Zenit- bezw. Höhenwinkel; damit besteht bei Beschränkung auf die Zielweiten der Kleintriangulierung (φ = einige Minuten, höchst selten über 10') unter Berücksichtigung der zu erreichenden Genauigkeit, für einseitige Zielung in 1, die für die meisten Fälle ausreichende vereinfachte Beziehung (1) h₂ – h₁ = Δ h = s cotg z₁ + (1 – k)/2R s² = s tg α₁ + (1 – k)/2R s².

Danach kann, sobald s aus der Triangulierung bekannt und z₁ bezw. α₁ im Punkt 1 gemessen ist, der Höhenunterschied Δ h und, wenn h₁ gegeben ist, h₂, und umgekehrt, wenn h₂ gegeben ist, h₁ d.h. die Höhe der Instrumentachse bestimmt werden. Ist der Theodolit unmittelbar über einem trigonometrischen Festpunkt aufgestellt, so kann bei bekannter Höhe desselben die Höhe der Instrumentachse durch Messung des lotrechten Abstandes unmittelbar gefunden werden oder umgekehrt aus der trigonometrisch abgeleiteten Höhe der Instrumentachse die Höhe des Festpunktes. (Vgl. hierzu auch Tachymetrie, Fig. 5). Kann – wie z.B. stets bei den durch [93] Steine vermarkten Dreieckspunkten – nicht der Festpunkt selbst angezielt werden, so wird am trigonometrischen Signal ein bestimmter Zielpunkt hergestellt. Bei den Pyramidensignalen (vgl. Fig. 2 im Artikel Triangulierung) dient hierzu die Unterkante des Bretterverschlages, bei Stangensignalen die Unterkante der Zielbretter. – In diesen Fällen ist die Zielhöhe h_z unmittelbar zu messen und in die Berechnung einzuführen. – In der angegebenen Gleichung (1) ist s²/2R (= c_k der Figur) das die Krümmung des Horizonts oder den in der Lotlinie von 2 gerechneten Abstand des scheinbaren und wahren Horizonts von 1 ausdrückende Glied, die sogenannte »Krümmungskorrektion«; vgl. hierüber Depression des Horizonts, Bd. 2, S. 711, mit Zahlenangaben. Das Glied k s²/2R = (c_r der Figur) entspricht der normalen Refraktionsverbesserung, wobei die Lichtbahn als eine Funktion der Erdkrümmung behandelt ist. Demnach ist c_k – c_r = (1 – k)/2R s² die gesamte trigonometrische Horizontkorrektion, welche der einfachen aus dem bei 1' als rechtwinklig aufzufassenden Dreieck 1 2 1' folgenden Beziehung 1'–2 = s tg α (wenn 1 – 1' = s) beizulegen ist. Wegen der Ableitung s. [1]. Für den praktischen Gebrauch lind Tabellen berechnet z.B. in [1], Literatur s. ebend.

Werden in beiden Punkten 1 und 2 die Höhenrichtungen z₁ und z₂ (bezw. α₁ und α₂), also sogenannte gegenseitige Zenitdistanzen gemessen, so gilt unter der Voraussetzung normaler Krümmung der Lichtbahn die vereinfachte Beziehung Δ h = h₂ – h₁ = s tg ¹/₂(z₂ – z₁), worin die Refraktionskonstante nicht erscheint, und ferner die zugehörige Gleichung k = 1 – (z₁ + z₂ – 180°) R : s ρ, woraus (am zuverlässigsten bei gleichzeitiger gegenseitiger Beobachtung) ein Ausdruck für den Refraktionskoeffizienten gewonnen werden kann. In praktischer Hinsicht ist anzumerken, daß wegen der starken Veränderlichkeit der Refraktion, welche in den Nachmittagsstunden trotz der in diese fallende Periode des stärksten Flimmerns am kleinsten, die Zeit von etwa 10¹/₂ bis 4 Uhr für die Beobachtung am günstigsten ist. Im übrigen ist durch diese Veränderlichkeit und die Unsicherheit der Refraktionsbestimmung der Genauigkeit der trigonometrischen Höhenmessung eine Grenze gesetzt; aus diesem Grunde wird zurzeit diese Methode nur in Verbindung mit der Kleintriangulierung für die erwähnten Messungen untergeordneter Bedeutung praktisch verwendet, während sie früher als die hauptsächlichste und feinste Höhenmessungsmethode betrachtet wurde. Als ein Beispiel derartiger Messungen sei verwiesen auf das trigonometrische Nivellement Swinemünde-Berlin [5]; einer späteren Zeit gehören an die Beobachtungen zum Anschluß von Helgoland an das Festlandsnetz [4]. – Für exaktere Messungen und besondere Untersuchungen kommen für die Formel noch weitere Glieder in Betracht; soll z.B. die Höhenlage der Messungspunkte in Rücksicht gezogen werden, so wird die Beziehung

Hierbei ist dann für R der für die Polhöhe des Messungsgebiets zutreffende mittlere Erdkrümmungsradius einzuführen, eventuell der Krümmungsradius des Ellipsoidnormalschnitts in dem betreffenden Azimut. Vgl. [2].

Zur Messung der Zenit- bezw. Höhenwinkel dienen mit Höhenkreisen ausgerüstete Theodolite (sogenannte Universalinstrumente), an denen die Höhenkreise zur Herstellung verschiedener Kreistagen drehbar eingerichtet sind. Die Ablesung geschieht mit Nonien oder Mikroskopen. Bei der preußischen Landesaufnahme z.B. werden kleine Universalinstrumente von ca. 15 cm Kreisdurchmesser mit Schraubenmikroskopablesung verwendet. Die Messung hat stets in zwei Fernrohrlagen, eventuell in mehreren Kreisstellungen zu erfolgen. Eine technische Anleitung für die Beobachtung geben [3] und [4]. Ueber die Ausführung und Ausrechnung der Höhenwinkelmessung, über die Prüfung des Instruments u.s.w. s. Triangulierung.

Die Anordnung der trigonometrischen Höhenbestimmungen bei einer Landesvermessung ist kurz die folgende: Im Anschluß an das Landespräzisionsnivellement wird für eine Anzahl passend gelegener Dreieckspunkte die Höhe unmittelbar durch Nivellierung bestimmt. Von diesen derart gegebenen Standpunkten aus werden sodann andre Punkte teils durch gegenseitige, teils durch einseitige (z.B. die Kirchtürme) Zenitwinkel bestimmt, so daß jeder neuzubestimmende Höhenpunkt mindestens von zwei Punkten aus durch mehrfache Messungen erhalten wird. Die Ausgleichung des sich dadurch ergebenden trigonometrischen Höhennetzes erfolgt im Anschluß an die durch die Nivellierung gegebenen Ausgangspunkte entweder genähert (von den gegebenen Punkten allmählich fortschreitend oder in passend ausgewählten Zügen zwischen gegebenen Punkten) oder einheitlich nach den vermittelnden oder bedingten Beobachtungen der Methode der kleinsten Quadrate. Vgl. [1]. Die Genauigkeit der trigonometrisch abgeleiteten Höhen ist bei sorgfältigem Verfahren innerhalb der Grenzen der Kleintriangulierung auf etwa ± 0,05 bis 0,2 m mittlerer Höhenfehler zu schätzen (abhängig von der Entfernung, den atmosphärischen Verhältnissen u.s.w.), vgl. hierüber [1] sowie die dort angegebene Literatur. Bei gelegentlich sich ergebenden trigonometrischen Kleinmessungen, wie z.B. der Bestimmung einer Turmhöhe, welche auch vorkommen, wenn die Höhe des Turmknopfes aus einem an der Kirche angebrachten Nivellementspunkte abgeleitet werden soll, sind einfache Hilfsdreiecke mit Messung einer Standlinie zur Berechnung der in Frage kommenden Entfernungen anzuordnen, ähnlich wie beim Anschluß von Polygonzügen an unzugängliche Dreieckspunkte und bei exzentrischen trigonometrischen Standpunkten (s. Triangulierung). Hierbei bleiben natürlich die Glieder für die Krümmmungskorrektionen außer Ansatz und die einfache Beziehung lautet h₂ – h₁ = s cotg z = s tg α. Ueber derartige Aufgaben s. die erwähnten Lehrbücher [1]. Wegen tachymetrischer Höhenmessungen vgl. Tachymetrie.

[94] 3. Barometrische Höhenmessung.

Die barometrische Höhenmessung beruht auf der durch die barometrische Höhenformel (s. unten) ausgedrückten Beziehung zwischen Meereshöhe und Luftdruck. Wird eine in ungestörter Gleichgewichtslage befindliche Atmosphäre vorausgesetzt, so erhält man nach der Barometerformel den Höhenunterschied zweier Punkte, wenn an denselben 1. die Barometerstände bestimmt, 2. die Lufttemperaturen gemessen sowie 3. die übrigen nach der vollständigen Barometerformel erforderlichen Elemente, nämlich die mittlere Meereshöhe, die geographische Breite und die Feuchtigkeit der Luft bekannt sind.

1. Die Bestimmung der Barometerstände kann geschehen mit Hilfe des Quecksilber- oder des Federbarometers (wegen der verschiedenen Systeme, der Behandlung, der Ablesung, der Korrektionen u.s.w. s. Federbarometer). – Das Federbarometer (Aneroid) ist im Vergleich zum Quecksilberbarometer als ein Interpolationsinstrument zu betrachten; seine Angaben sind auf Quecksilberbarometerstände zu reduzieren, liefern aber für die Einzelbestimmung bei Höhenmessungen mit vielen verschiedenen Punkten geeignetere Werte, als sie mit einem Quecksilberbarometer zu erlangen wären. Die barometrische Höhenmessung ist überhaupt erst durch Anwendung der leicht transportablen und bequem zu behandelnden Aneroide für die Technik verwendbar und besonders für topographische Aufnahmen und technische Vorarbeiten (bei Eisenbahn- und Wegebauten) im hügeligen oder gebirgigen Gelände ein sehr zweckmäßiges Höhenmessungsverfahren geworden. Die Quecksilberbarometer finden in der Technik nur als Vergleichungsinstrumente bei ausgedehnten Aufnahmen unmittelbare Verwendung während der Messung, im übrigen dienen sie zur Prüfung und Bestimmung der Korrektionen der Aneroide. Den an den Höhenpunkten abgelesenen Barometerständen müssen zunächst sämtliche in Betracht kommende Korrektionen zugefügt werden, so daß stets nur »verbesserte Barometerstände« der weiteren Höhenberechnung zugrunde gelegt werden.

2. Die Bestimmung der Lufttemperatur geschieht mit Hilfe von Thermometern. Als Thermometer sind mit C°-Teilung versehene, gute und sorgfältig geprüfte (mit Normalthermometern verglichene) Instrumente mit langem und starkem Gefäß zu verwenden. Die Messung der Temperatur geschieht am zweckmäßigsten in der Weise, daß das an einer starken Schnur befestigte Thermometer eine Zeitlang (1–2 Minuten) im Kreise herumgeschleudert und dann schleunigst abgelesen wird. Dadurch kommt das Quecksilbergefäß mit vielen Luftteilchen in Berührung, nimmt schnell ihre Temperatur an und wird nicht von der strahlenden Wärme der Umgebung schädlich beeinflußt. (Die Ablesungen an hängenden Thermometern geben bei nicht bewegter Luft wegen der Wärmestrahlung unbrauchbare Werte.) Das Schleudern wird so lange fortgesetzt, bis der Stand des Instrumentes genügend konstant bleibt. Die Glasröhre wird zweckmäßig in eine Messinghülse mit Auszugrohr und Windlöchern gelagert (Schleuderthermometer). Nach der Barometerformel sollen die Lufttemperaturen an den Höhenpunkten gemessen werden, indem vorausgesetzt wird, daß dadurch die mittlere, Temperatur der in Betracht kommenden Luftmasse gefunden werde. Diese Voraussetzung trifft nun aber nicht ganz zu, weil die Differenzen der Lufttemperatur nicht proportional der Höhe sind und die unmittelbar an der Erdoberfläche, unter der Einwirkung der lokalen Einflüsse angestellten Beobachtungen nicht genau die Temperatur der in Betracht kommenden Luftmasse liefern. Ueber die Beziehung zwischen Lufttemperatur und Höhe aus barometrischen Messungen sind eingehende Untersuchungen angestellt worden von Bauernfeind [6] und Rühlemann [7], welche zu der Erkennung einer täglichen Periode der Höhenfehler führten.

3. Die weiteren nach der Barometerformel erforderlichen Elemente sind für die technische Ausnutzung der barometrischen Höhenmessung als konstant zu betrachten und in die Barometerkonstante aufzunehmen. Die geographische Breite und mittlere Meereshöhe des Messungsgebietes sind aus jeder geographischen Karte sowie aus genäherten Bestimmungen der Meereshöhe (unmittelbar aus den Barometerständen) zu entnehmen.

Die Spannung des in der Luft enthaltenen Wasserdampfes, der sogenannte Dunstdruck (σ der Barometerformel), wird mit Hygrometern (s. Feuchtigkeitsmesser) gemessen und in Millimetern der Quecksilbersäule zum Ausdruck gebracht. Für die technische Ausführung von Barometermessungen kann der Dunstdruck nicht jedesmal mit dem Hygrometer besonders bestimmt, es muß vielmehr für das Aufnahmegebiet ein geeigneter Mittelwert für den mit den Witterungsverhältnissen, der Jahreszeit und der Temperatur veränderlichen Feuchtigkeitsgrad eingeführt werden. Für Mitteleuropa schwankt der Dunstdruck (im Meeresspiegel) etwa zwischen den Grenzen 4 und 12 mm mit einem Mittel von beiläufig 8 mm (derselbe ändert sich außerdem mit der Höhe). Da der Einfluß dieser Faktoren auf die Höhenmessung nur ein geringer ist und gegenüber andern Unsicherheiten kaum in Betracht kommt, so können dieselben, ohne der Genauigkeit der Messung merklich zu schaden, für weite Gebiete als konstant in die Rechnung eingeführt werden. Dementsprechend hat Jordan eine für Mitteleuropa gültige barometrische Höhenformel aufgestellt und danach eine Tafel berechnet, in die er die geographische Breite mit 50°, die mittlere Meereshöhe mit 500 m und den Dunstdruck mit 7,2 mm eingeführt hat. Mit dieser Einschränkung ist zur barometrischen Höhenmessung nur erforderlich die Messung von. Barometerständen und Lufttemperaturen.

Soll der Höhenunterschied von zwei Punkten 1 und 2 ermittelt werden, so sind in den beiden Punkten die Barometerstände B₁ und B₂ und die mittlere Lufttemperatur T zu bestimmen, z.B. B₁ = 759,6 mm, B₂ = 749,2 mm, T = 14,8°. Nach der Jordanschen Tafel sind die »rohen Meereshöhen« mit dem Argument 15° Lufttemperatur (auf welche die gemessene Temperatur 14,8° abgerundet wird): h₁ = 26,7 m, h₂ = 143,3 m, also der Höhenunterschied Δ h = 116,6 m, oder mit Anwendung der Höhendifferenzen für 1 mm Barometerstand bei dem Luftdruckmittel (B₁ +B₂)/2 = 754 mm, mit der für 15° gültigen »Höhenstufe« 11,22, (759,6 – 749,2) · 11,22 = 116,7 m.[95] Ist für einen der Punkte eine bestimmte Höhenzahl gegeben, z.B. H₁ = 60,3 m, so ist die absolute Höhe H₂ = 60,3 + 116,6 = 176,9 m. Bei einer größeren Anzahl zu bestimmender Höhenpunkte ist das Verfahren dasselbe. Diese Bestimmung ist aber nur dann richtig, wenn die Barometerstände in demselben Augenblick gemessen werden, oder wenn bei Messung zu verschiedenen Zeiten der Luftdruck im Aufnahmegebiet unverändert geblieben ist. Da nun aber der Luftdruck fortwährenden Schwankungen unterworfen ist, so muß auf diesen Umstand Rücksicht genommen werden. Die Barometerablesungen sind daher gleichzeitig auszuführen und demnach mehrere Instrumente zu verwenden, z.B. während ein Instrument auf dem Punkt 1 bleibt, wandert ein zweites der Reihe nach auf die übrigen Punkte. Damit tritt als ein weiteres Element »die Zeit« in die Messung ein. Das Messungsverfahren ist nunmehr das folgende: An dem auf einem bestimmten Beobachtungspunkte verbleibenden Barometer, dem »Standbarometer«, werden in bestimmten Zeitintervallen (z.B. alle 10 oder 15 Minuten) Ablesungen vorgenommen, aus denen die den Zeiten des wandernden Barometers, »Feldbarometers«, entsprechenden Werte durch Interpolation nach der Zeit gefunden werden können. Diese Art der korrespondierenden Beobachtungen nennt man die Höhenmessung mit »Standbeobachtungen«. Das »Standbarometer« wird dabei an geeigneten, gegen die Sonne geschützten Punkten, etwa in der Mitte der zu bearbeitenden Geländeabschnitte aufgestellt und das »Feldbarometer« mit ihm von Zeit zu Zeit verglichen. Bei diesen Vergleichungen wird das »Feldbarometer« unmittelbar neben das »Standbarometer« gestellt, während im übrigen das »Feldbarometer« stets in einer konstanten Höhe (Brust- oder Augenhöhe) über den zu bestimmenden oder gegebenen Höhenpunkten abgelesen wird. Das folgende auszugsweise mitgeteilte Beispiel erläutert das Aufnahme- und Messungsverfahren:

Für das Standbarometer ist die Zulegung der Instrumentkorrektionen (wegen Temperatur und Teilung, s. Federbarometer) mit aufgenommen, für das Feldbarometer sind sogleich die verbesserten Barometerstände eingeführt. Mit den verbesserten Barometerständen werden für das Stand- und Feldbarometer unter Einführung des auf ganze Grade abgerundeten Temperaturmittels die rohen Meereshöhen aus der Barometertafel entnommen und danach aus den Standbarometerhöhen die den Zeiten der Feldbarometerablesungen entsprechenden Höhen rechnerisch oder bei größeren Aufnahmen graphisch interpoliert. (Die graphische Interpolation erfolgt durch Auftragen der Standhöhen als Ordinaten zu den Zeitabszissen auf quadriertem Papier und Ausziehen der Kurve.) Sodann werden die Unterschiede zwischen den Feld- und den korrespondierenden Standhöhen gebildet. Dabei ergeben die so oft wie möglich auszuführenden Standvergleichungen der Barometer die den Höhenunterschieden wegen der Standänderungen zuzulegenden Verbesserungen, welche (im Beispiel unterstrichen) entweder, wie in dem einfachen Fall des Beispiels geschehen ist, durch Mittelbildung (16,6 + 19,9/2 = 18,2) oder bei größeren Aufnahmen mit mehrfachem Anschluß durch graphische Ausgleichung (nach der Zeit oder mit Berücksichtigung der überwundenen Höhenunterschiede [8]) gewonnen werden. Hiermit erhält man die verbesserten Höhenunterschiede gegen das Standbarometer, wobei diejenigen der Standvergleichungen gleichzeitig ein Urteil über die Genauigkeit der Bestimmung ermöglichen. Kommen bei größeren Aufnahmen erhebliche Aenderungen der Lufttemperatur in Betracht, so werden die (auf ganze Grade abzurundenden) Rechnungstemperaturen den beobachteten mittleren Temperaturen mit den Standvergleichungen fortschreitend angepaßt, so daß zwischen je zwei Standvergleichungen stets dieselbe Rechnungstemperatur beibehalten wird (auch diese Ausgleichung kann graphisch vorgenommen werden). Der bei dieser Methode für das Standbarometer erforderliche zweite Beobachter kann auch durch Verwendung eines registrierenden Instruments (Barograph, s.d.) ersetzt werden.

Anstatt den Einfluß der Veränderung des Luftdrucks durch korrespondierende Beobachtungen zu eliminieren, kann auch so verfahren werden, daß durch Rückkehr auf denselben Punkt[96] die Aenderung des Barometerstandes ermittelt und unter der Voraussetzung gleichmäßiger Aenderung die Verbesserungen proportional der Zeit den Beobachtungen zugelegt werden. Dieses Verfahren nennt man die barometrische Höhenmessung »in Schleifen«. Das folgende Beispiel, welches dem früheren unter Fortlassung der Standbeobachtungen entspricht, erläutert das Rechnungsverfahren.

Bei größeren Aufnahmen ist auch hierbei die Ausgleichung graphisch vorzunehmen. Wenn in den bisher erörterten Fällen für irgend einen der Punkte eine absolute Meereshöhe gegeben ist, so erhält man diejenigen der übrigen Punkte durch Umrechnung von dem gegebenen Punkte aus.

Die zuverlässigsten Resultate für technische Zwecke liefert die barometrische Höhenmessung beim Anschluß an ein System von gegebenen Höhenfestpunkten, die je nach der Sachlage durch geometrisches, trigonometrisches bezw. tachymetrisches Nivellement vorher bestimmt sind. Diese Methode ist im einzelnen Fall eine einfache Interpolation. Das Verfahren wird durch folgendes Beispiel erläutert:

Mit der mittleren Lufttemperatur werden die rohen Meereshöhen berechnet, für die Anschlußpunkte die Unterschiede der gegebenen Höhen und rohen Meereshöhen H – h gebildet, und damit proportional der Zeit eine Verbesserung z (die Zeitverbesserung) ermittelt, welche die rohen Meereshöhen unter Beseitigung der Widersprüche auf die gegebenen Höhen reduziert. Bei großen Aufnahmen mit wiederholtem Anschluß werden diese Zeitverbesserungen stets graphisch ermittelt, indem die Unterschiede H – h als Ordinaten zu den Zeitabszissen aufgetragen werden. Aenderungen in der Rechentemperatur werden, wenn erforderlich, wie vorerwähnt den Anschlußpunkten angepaßt. Die Genauigkeit barometrischer Höhenmessungen, welche nach den skizzierten Verfahren (unter Zugrundlegung guter Karten und Eintragen der Punkte durch Schrittmaß, vgl. Nivellieren) mit guten Instrumenten, deren Korrektionen genau bekannt sind, ausgeführt werden, ist bei Höhenunterschieden von einigen hundert Metern auf etwa ± 1 bis 2 m mittleren Punktfehler zu schätzen; bei Interpolationsmessungen im Anschluß an ein gegebenes Festpunktnetz ergeben sich oftmals Fehler, welche die Grenze ± 1 m nicht erreichen. Bei größten Höhen (über 1000 m) wächst der Fehler schnell, bei nicht geprüften Instrumenten ist eine Genauigkeitsgrenze überhaupt nicht anzugeben. Weitere Beispiele zu Höhenmessungen finden sich in [10]–[13]. Die Ausführung barometrischer Höhenmessungen in sehr ausgedehnten Gebieten (z. B, Durchforschung unbekannter Länder) geschieht im wesentlichen nach denselben Gesichtspunkten, erfordert aber einzelne besondere Maßnahmen, für welche [9] als ein Beispiel dienen kann.

Die barometrische Höhenformel (Barometerformel) bringt die Beziehung zwischen dem Höhenunterschied zweier Punkte und den an denselben herrschenden Luftdrücken zum Ausdruck, so daß der erstere unmittelbar aus den letzteren berechnet werden kann. Nachdem durch Torricelli (1643) das zur Messung des Luftdrucks geeignete Instrument angegeben war und Pascal zum erstenmal die vermutete Abnahme des Luftdruckes mit der Höhe experimentell festgestellt hatte, indem er durch Périer (1648) den Puy de Dôme mit einem Quecksilberbarometer besteigen ließ, versuchten viele Forscher das Gesetz der Abnahme des Luftdruckes mit der Höhe zu erkennen. Die Versuche wurden sowohl auf empirischem wie auf theoretischem Wege unternommen durch unmittelbare Ausführung von Höhenmessungen und durch Benutzung der schon bekannten Gesetze von Mariotte und Gay Lussac über Druck und Ausdehnung der Luft. Nach den Arbeiten von Halley [14], Fontana [15], Deluc [16] u.a. stellte Laplace (1799) [17], ausgehend von den Gleichungen über das Gleichgewicht bei Flüssigkeiten die erste vollständige Barometerformel auf, unter Berücksichtigung der neuen auf genauen Messungen der französischen Akademie der Wissenschaften gegründeten Bestimmungen für die einzelnen Koeffizienten der Gleichung. Die Gleichung lautet (auf Metermaß umgerechnet):

h = 18336 (1 + 0,004 (T + t)/2) (1 + 0,002845 cos 2 ψ) (1 + h/r) (log B/b + h/r 0,868589);

darin bedeuten h den Höhenunterschied, T, t bezw. B, b Temperatur- bezw. Barometerstand an den beiden Punkten, deren Höhenunterschied bestimmt werden soll, ψ die mittlere geographische [97] Breite dieser Punkte und r den Erdradius. Das erste Glied 18366 (in Meter umgerechnet) ist die »barometrische Konstante« und bringt alle konstanten Werte der Gleichung zum Ausdruck; das zweite Glied berücksichtigt die Ausdehnung der Luft, das dritte bezw. vierte Glied die Aenderung der Schwere mit der Breite bezw. Höhe; das fünfte Glied enthält die gemessenen Barometerstände unter Beachtung der Schwerekorrektion. Diese Formel ist nun mehrfach umgerechnet und unter Einführung neuer Koeffizienten späterhin weiterentwickelt worden, so von Lindenau [18], Biot [19], Soldner [20], Gauß [21], Bessel [22], Babinet [23], Baeyer [24], Plantamour [25], Bauernfeind [26], Rühlemann [27], Jordan [28]. Die von den drei letztgenannten aufgestellten Formeln lauten:

Bauernfeind:

Rühlemann:

Jordan:

Die einzelnen Glieder entsprechen ihrer Bedeutung nach denjenigen der Laplaceschen Formel, im vierten Gliede bedeutet z die Seehöhe, hinzugekommen ist das vorletzte Glied der drei Gleichungen, welches den Einfluß des Druckes des in der Luft enthaltenen Wasserdampfes (und der Kohlensäure) in Rechnung bringt, darin bedeutet σ die Dampfspannung. – Diese Formeln liefern Werte, welche für den praktischen Gebrauch keinen wesentlichen unterschied zeigen. (Näheres über diese Formeln in der angegebenen Literatur [26], [27], [28].) Sollen die Formeln zur Berechnung von Höhenmessungen, welche mit Federbarometern ausgeführt sind, benutzt werden, so muß die Schwere- und Temperaturkorrektion der Quecksilbersäule ausgeschieden werden, wie es in der Jordanschen Formel mit Rücksicht auf diesen Zweck geschehen ist. Für die praktische Durchführung der Berechnung von Höhen nach diesen Formeln sind Tabellen, welche die ausgerechneten Werte der einzelnen Glieder nach den Argumenten geordnet enthalten, unentbehrlich. Derartige Tabellen sind mehrfach berechnet worden, z.B. von Biot, Gauß, Babinet, Bessel u.s.w. [19], [21], [22], [23]. Bei der Berechnung nach solchen Tafeln wird nach Beilegung der erforderlichen Instrumentkorrektionen zunächst der »normale Höhenunterschied« unmittelbar aus den beiden Barometerständen B und b entnommen und diesem der Betrag der einzelnen Glieder, das ist die »Korrektion« wegen der Temperatur der Luft, die »Korrektion« der Schwere wegen Breite und Höhe und die »Korrektion« wegen der Luftfeuchtigkeit beigelegt. Für örtlich eng begrenzte Gebiete, wie sie bei einer ausgedehnten technischen Verwendung der barometrischen Höhenmessung in Betracht kommen, sind die Korrektionsglieder für die Schwere wegen Breite und Höhe und für die Luftfeuchtigkeit als konstant zu betrachten, deshalb dürfen diese Glieder zusammengefaßt und mit der barometrischen Konstante vereinigt werden; dadurch vereinfacht sich dann die Höhenformel entsprechend. So hat z.B. Jordan [28] für Mitteleuropa seine allgemeine Formel umgewandelt in den Ausdruck:

h = 18 464 (1 + 0,003665 (T + t)/2) log B/b,

indem die Breite ψ = 50°, die mittlere Höhe über dem Meere h = 500 m, der mittlere Dunstdruck = 7,2 mm gesetzt wurde. Damit ergibt sich unter der eingeführten Beschränkung der Höhenunterschied in der einfachsten Weise, indem neben den Barometerständen nur noch die mittlere Lufttemperatur in Betracht kommt. Wird weiterhin einer der Barometerstände für eine solche Tafel als konstant eingeführt, z.B. b, und so gewählt, daß er dem mittleren auf den Meeresspiegel reduzierten Barometerstände für das betreffende Gebiet entspricht, so liefert die Formel sofort »genäherte« oder »rohe Meereshöhen«. So z.B. hat Jordan in die erwähnte Formel für Mitteleuropa einen auf den Meeresspiegel reduzierten mittleren Barometerstand von 762 mm eingeführt und danach eine sehr empfehlenswerte Tafel [29] gerechnet, welche für die einzelnen Grade der Lufttemperatur von + 5° bis + 35° C. geordnet ist, nach Zehntelmillimetern des Barometerstandes von 630 mm bis 764 mm fortschreitet und demnach bis zu Höhen von rund 1600 m ausreicht; für generelle Messungen ist eine erweiterte Tafel von 0° bis 35° C. und 450 mm bis 765 mm, also bis + 4500 reichend, beigegeben. Die nachstehende Tabelle gibt einen Auszug aus dieser zuletzt erwähnten Tafel für 15° mittlere Lufttemperatur:

Eine andre Form für die praktische Auflösung der Höhenformel ist diejenige nach Höhendifferenzen (»Höhenstufen«), welche aufeinander folgenden Barometerintervallen (z.B. einzelnen Millimetern) entsprechen. Diese Form wird erhalten durch Differenzierung der allgemeinen Höhenformel und ist für die Berechnung kleiner Höhenunterschiede geeignet. Eine solche Tafel wurde zuerst von Babinet [23] aufgeteilt. Folgende Reihe gibt einen Ueberblick über die einem Millimeter Barometerdifferenz bei 15° C. Lufttemperatur entsprechenden Höhenunterschiede:

[98] An Stelle der Barometertafeln [29], [30] können zur praktischen Durchführung der Höhenrechnungen auch sonstige Hilfsmittel benutzt werden, entweder graphische Tafeln [31] oder der Rechenschieber [32].

Literatur: Die beim Artikel Geodäsie unter [4]–[10] genannten Lehrbücher, besonders [1] Jordan, Handbuch der Vermessungskunde, Stuttgart 1904, Bd. 2, Kap. 11. – [2] Helmert, Mathematische und physikalische Theorien der höheren Geodäsie, Bd. 1, Leipzig 1880, S. 518, Bd. 2, Leipzig 1884, S. 550. – [3] Kgl. preuß. Landestriangulation, Triangulation der Umgegend von Berlin, Berlin 1867 (Anhang). – [4] Veröffentlichung des Kgl. preuß. geodät. Instituts, Zenitdistanzen zur Bestimmung der Höhenlage der Nordseeinseln Helgoland, Neuwerk und Wangeroog u.s.w., Berlin 1895. – [5]Baeyer, Trigonometrisches Nivellement zwischen Swinemünde und Berlin, Berlin 1840. – [6] Bauernfeind, Beobachtungen und Untersuchungen über die Genauigkeit barometrischer Höhenmessungen, München 1862; Ders., Neue Beobachtungen über die tägliche Periode barometrisch bestimmter Höhen, München 1883. – [7] Rühlemann, Die barometrischen Höhenmessungen, Leipzig 1870. – [8] Reinhertz, Elastische Nachwirkung beim Federbarometer, Zeitschr. für Instrumentenkunde 1887, S. 207. – [9] Jordan, Geographie und Meteorologie der Libyschen Wüste, Kassel 1876. – [10] Schreiber, Das Flächennivellement mit Aneroidbarometern, Civilingenieur, Bd. 21, 4.–6. Heft. – [11] Ders., Handbuch der barometrischen Höhenmessung, Weimar 1877. – [12] Hartl, Praktische Anleitung zum Höhenmessen mit Quecksilberbarometern und mit Aneroiden, Wien 1884. – [13] Koppe, Das Verfahren der Ausführung und der Berechnung barometrischer Höhenaufnahmen, Zeitschr. des Hannov. Arch.- u. Ingen.-Vereins, 1888. [14] Halley, A discurse of the rule of the decrease of the height of the mercury of the barometer; Philos. transactions 1686, 1687, Bd. 16. – [15] Fontana, Delle altezze barometriche etc., Pavia 1771. – [16] Deluc, Recherches sur les modifications de l'atmosphère, Paris 1772. – [17] Laplace, Mécanique céleste, Paris 1799. – [18] Lindenau, Tables barométriques pour faciliter le calcul des nivellements et des mesures des hauteurs par le baromètre, Gotha 1809, und »Ueber Laplaces Ausdruck für Höhenmessungen durch das Barometer« in Zach, Monatl. Korrespondenz, Bd. 14. – [19] Biot, Tables barométriques portatives etc., Paris 1811. – [20] Soldner, Ueber den Einfluß der Feuchtigkeit auf das Höhenmessen mit dem Barometer in Gilberts Annalen, Bd. 32. – [21] Gauß, Astronomisches Jahrbuch für 1818. – [22] Befiel, Astronomische Nachrichten, Bd. 12. – [23] Babinet, Comptes rendus, Bd. 30. – [24] Baeyer, Poggendorffs Annalen, Bd. 98. – [25] Plantamour, Résumé des observations thermométriques et barométriques etc., Mém. de la soc. de Genève, Bd. 13. – [26] Bauernfeind, Beobachtungen und Untersuchungen über die Genauigkeit barometrischer Höhenmessungen und die Veränderungen der Temperatur und Feuchtigkeit der Atmosphäre, München 1862. – [27] Rühlemann, Die barometrischen Höhenmessungen u.s.w., Leipzig 1870. – [28] Jordan, Handbuch der Vermessungskunde, Stuttgart 1904, Bd. 2, Kap. 12. – [29] Ders., Barometrische Höhentafeln, Stuttgart 1886; für Tiefland und für große Höhen, Hannover 1896. – [30] Schoder, Hilfstafeln zur barometrischen Höhenbestimmung, Stuttgart 1872; Jelinek, Anleitung zur Anstellung meteorologischer Beobachtungen, Wien 1876, sowie die vorher genannten Tafeln. – [31] Vogler, Graphische Barometertafeln, Braunschweig 1880; sowie Anleitung zum Entwerfen graphischer Tafeln, Berlin 1877. – [32] Koppe, Zeitschr. für Vermessungswesen 1874; Bischoff, ebend. 1891.

Reinhertz.