Betoneisenkonstruktionen [2]

Betoneisenkonstruktionen. Bei Trägern (s.d.) und andern Konstruktionen aus Stein und Beton ist man Eisenkonstruktionen gegenüber dadurch in der Anwendung beschränkt, daß jene Stoffe nur verhältnismäßig geringe Zugbeanspruchungen aushalten. Dies kann aus ästhetischen und wirtschaftlichen Gründen, wie auch im Hinblick auf Dauer, Feuersicherheit u.s.w. unerwünscht sein. Man hat daher in neuerer Zeit Konstruktionen aus Beton mit Eiseneinlagen hergestellt, in welchen die Eigenschaften dieser beiden Stoffe zweckmäßig zusammenwirken sollen, wonach das Eisen in erster Linie da zu verwenden ist, wo größere Zugkräfte auftreten, während der Beton im wesentlichen die Druckkräfte aufzunehmen hat. Der Gedanke trat zuerst an die Oeffentlichkeit, als Monier 1867 ein Patent auf Gefäße aus Zement mit Eisengerippe nahm, dem er Patente auf Träger folgen ließ [1]. Er erwies sich anfangs besonders im Hochbau fruchtbar, gewann aber mehr und mehr auch im Ingenieurwesen Bedeutung, und heute bilden die Betoneisenkonstruktionen bereits ein wichtiges Gebiet der Ingenieurbauten. Die zahlreichen »Systeme« freilich unterscheiden sich meist nur nach Anordnung, Form und Lage der eingefügten Eisenteile.

Die Möglichkeit der Einführung von Betoneisenkonstruktionen war zunächst dadurch gegeben, daß Beton von geeignetem Mischungsverhältnis und Eisen sehr gut aneinander haften, beide nahezu den gleichen Ausdehnungskoeffizienten (s.d.) haben und die Umhüllung mit Beton für Eisen ein vorzügliches Rostschutzmittel bildet. Das Anwendungsgebiet wurde indessen erheblich erweitert, als die Erfahrung zeigte und Considère durch Versuche bestätigte [4], daß Betonprismen mit Eiseneinlagen durch Zug bei Biegung Dehnungen aushielten, für die ohne Eiseneinlagen längst der Bruch eingetreten wäre. Hierdurch kam man in die Lage, die Fertigkeit des Eisens in Betoneisenkonstruktionen in ähnlichem Maße wie in reinen Eisenkonstruktionen auszunutzen, ohne Risse im Beton durch Zugkräfte befürchten zu müssen (die auch dann nicht erwünscht sind, wenn das Eisen den auftretenden Zugkräften allein zu widerstehen vermag).

Die Hauptschwierigkeit der Beurteilung und Berechnung von Betoneisenkonstruktionen liegt in der Verschiedenheit des elastischen Verhaltens von Beton und Eisen, wobei noch die ungenügende Kenntnis der Elastizitätsverhältnisse des Betons in Betracht kommt. Während der Elastizitätsmodul für Schweißeisen und Flußeisen etwa 2000000 bezw. 2150000 pro Quadratzentimeter und innerhalb der in Frage kommenden Beanspruchungen annähernd konstant ist, gelten für Beton weit kleinere Werte, die aber vom Mischungsverhältnis und der Beanspruchungsart (Zug oder Druck) abhängen und mit dem Wachsen der Beanspruchung stark abnehmen. Man wird innerhalb der bei Betoneisenkonstruktionen vorkommenden Beanspruchungen im allgemeinen mit Elastizitätsmoduln des Betons von 300000 bis 150000 kg pro Quadratzentimeter rechnen können, und häufig wurde das Verhältnis der Elastizitätsmoduln von Eisen und Beton

n = E_e/E_b

1.

im Mittel n = 10 gesetzt, für hohe Beanspruchungen jedoch bis n = 20 und vereinzelt selbst bis n = 30. Die vorläufigen Leitsätze des Verbands deutscher[740] Architekten- und Ingenieurvereine [19] und des Preußischen Arbeitsministeriums [20] nehmen n = 15 an.

Die Grundlage aller Berechnungsmethoden von Betoneisenkonstruktionen bildet wie für homogene Eisen- und Steinkonstruktionen die Annahme, daß die Querschnitte der Stäbe bei der Formänderung eben bleiben (vgl. Biegung). Hiernach müssen für Eisenfasern und Betonfasern an der gleichen Stelle zwischen zwei bestimmten Querschnitten gleiche Längenänderungen entstehen. Wenn also daselbst die Dehnungen oder Längenänderungen für die Faserlänge 1 durch λ_e, λ_b und die Normalspannungen oder Längskräfte auf die Faserquerschnitte 1 durch σ_e, σ_b bezeichnet sind, so hat man:

λ_e = λ_b oder σ_e/E_e = σ_b/E_b

2.

woraus mit 1. für die Beanspruchungen an der gleichen Stelle in jedem Belastungsfalle:

σe = n σ_b.

3.

Wollte man nun in Betoneisenkonstruktionen dem Beton nur diejenigen Zugbeanspruchungen zumuten, die für Beton ohne Eisen gebräuchlich sind, so würde die zulässige Zugbeanspruchung der Eiseneinlagen betragen: für σ_b = 4 kg, n = 10, σ_e = 40 kg und selbst für σ_b = 8 kg, n = 20 nur σ_e = 160 kg pro Quadratzentimeter. Das wäre natürlich keine befriedigende Ausnutzung der Fertigkeit des Eisens. Durch die Erfahrung, daß der Beton auch bei weit höheren Beanspruchungen den Dehnungen des Eisens ohne Eintritt von Rissen folgt, ist man über diese Beschränkung hinausgekommen. Für die Dimensionenfeststellung pflegen die Zugwiderstände des Betons gegenwärtig in der Praxis außer Betracht zu bleiben, wie dies angesichts der mancherlei Mängel der statischen Berechnung und der immerhin begehenden Möglichkeit von Sprüngen im Interesse der Sicherheit liegt. Auf einzelne die Zugwiderstände des Betons bis zu gewissen Werten berücksichtigende Abhandlungen mag deshalb hier nur hingewiesen werden [3], [6]. Im folgenden sollen die wichtigsten auf den vorerwähnten Grundlagen beruhenden Formeln für Säulen, Balken (s.d.) und Bogen (s.d.) angeführt werden. Wir bemerken, daß die Vorschriften [19], [20] von den gleichen Grundlagen ausgehen.

I. Axial beanspruchte Säulen (andre Fälle s. unter IV. und V.).

Wenn keine Knickung in Betracht kommt, erfolgt die Berechnung unter der Voraussetzung, daß die Säulenachse gerade und die Querschnitte eben und senkrecht zu ihr bleiben. Die Säulenachse geht in dem gewöhnlichen Falle, daß die Querschnitte nach Form und Material zwei Symmetrieachsen besitzen, durch die Schnittpunkte der letzteren, und wäre allgemeiner durch Gleichung 16. bestimmt. Bezeichnen Fb, Fe die Querschnitte und σ_b, σ_e die Beanspruchungen pro Querschnittseinheit von Beton und Eisen, so hat man den ganzen Säulendruck:

P = Fb σb + Fe σe

4.

woraus mit Rücklicht auf 3.:

σ_b = P/F_b + nF_e, σ_e= nP/F_b + nF_e

5.

Die Verbandsvorschriften [19] nehmen bei runden Säulen des Durchmessers d und rechteckigen Säulen der kleinsten Querschnittseite b keine Knickungsgefahr an, wenn höchstens die wie folgt bestimmten Längen oder mindestens die so bestimmten kleinsten Querschnittseiten bestehen.

Für σb in	Bei runden	Bei rechteckigen
kg/qcm	Säulen l/d	Säulen l/d
30	18	21
35	17	20
40	16	19
45	15	18
50	14	17

Dabei soll der Querschnitt der Eiseneinlagen mindestens 0,8% des Gesamtquerschnitts betragen und in Abständen gleich höchstens der Säulendicke Sicherung gegen Ausknicken durch Querverbindungen (in der Regel Rundeisen) stattfinden. Die Ministerialvorschriften für Hochbau [20] ziehen keine Knickung in Betracht, wenn die Säulenlänge nicht über das 18fache der kleinsten Querdimension hinausgeht. Hierzu ist bestimmt, daß Querverbände, die geeignet sind, die Eisenstäbe unveränderlich gegeneinander festzulegen, in Abständen gleich höchstens dem 30 fachen des Eisenstabdurchmessers voneinander zu folgen haben.

Da genügende Versuche über die Knickfestigkeit von Betoneisensäulen fehlen, so sollen nach den Verbandsvorschriften [19] kleinere Querdimensionen als die oben bestimmten vorläufig nicht verwendet werden. Die Ministerialvorschriften [20] sehen Berechnung nach der [741] Eulerschen Knickformel (s. Knickfestigkeit) in einer durch ein Beispiel gezeigten Weise vor, wobei für die Eiseneinlagen fünffache Sicherheit verlangt ist. Manche rechnen nach der Schwarzschen Knickformel [9] (s. Knickfestigkeit), für welche Ritter eine Begründung für Betonsäulen versucht hat [5], die mit geeignetem c und dem Trägheitsmoment J = J_b + n J_e auch für Betoneisensäulen gelten soll.

II. Balken (reine Biegung). Einfache Armierung. Konstante Breite des gedrückten Querschnittsteils.

Bezeichnen bei einem beliebigen Querschnitt x am die Breite b der Druckzone fe den Querschnitt der Eiseneinlagen und e ihre Schwerpunktsentfernung von der äußersten Druckfaser (welch letztere oben oder unten liegen kann), so hat man daselbst die Höhe der Druckzone:

und pro Flächeneinheit Querschnitt die größte Beanspruchung des Betons (in der äußersten Druckfaser) und die Beanspruchung des Eisens:

worin M_x das Biegungsmoment bei x für die Breite b bedeutet (VII). Führt man die ganze Zugkraft und Druckkraft im Querschnitt x ein:

so hat man auch:

Ueber die Schubspannungen, die nicht immer berücksichtigt werden, s. unter VI.

Vorstehende Gleichungen genügen, um die Beanspruchungen σ_b, σ_e bei bekannten Dimensionen zu ermitteln oder die Dimensionen ohne Ueberschreitung zulässiger σ_b, σ_e durch Probieren festzustellen. Man kann aber auch die Dimensionen unmittelbar berechnen wollen, wobei es sich insbesondere um den Querschnitt fe der Eiseneinlagen für eine Breite b des gedrückten Querschnittsteils und die Entfernung e des Eisenschwerpunkts von der äußersten Druckfaser bei gegebenen Mx, σ_b, σ_e handeln wird. Durch Addition von 1–2 cm zu e ergibt sich dann auch die ganze Querschnittshöhe h. Die Ableitung liefert:

oder auch:

Da die Gleichungen 6–12. konstante Breite b des gedrückten Querschnittsteils voraussetzen, so kommen sie nicht zur Verwendung wenn die neutrale Schicht bei Querschnitten der Form Fig. 8 oder 9 in den Steg fällt (Fig. 12), was sich z.B. bei vorläufiger Berechnung nach 6. zeigt. Es treten dann die Gleichungen 18.-20. ein, die mit v = – d die größte Betonbeanspruchung σ_b (negativ als Druck), mit v = e – d die Eisenbeanspruchung σ_e liefern.

III. Balken (reine Biegung). Doppelte Armierung. Konstante Breite des gedrückten Querschnittsteils.

Der Fall kommt besonders dann vor, wenn, wie bei kontinuierlichen und eingespannten Balken, die Druckzone abwechselnd unten und oben liegt (Fig. 18). Daß die Einspannung nur insoweit als vollkommen angesehen werden darf, als sich damit ungünstigere Beanspruchungen wie andernfalls ergeben (also beispielsweise für die σ_b, σ_e an den Einspannungsstellen, nicht aber für diejenigen um die Oeffnungsmitten), ist schon von der Behandlung homogener Träger her bekannt. Bei einem beliebigen Querschnitt Λ: mögen auf die Breite b der Druckzone f'e den Querschnitt und σ'_e die Beanspruchung pro Querschnittseinheit der in der Schwerpunktsentfernung e von der äußersten Druckfaser gelegenen Eisenstäbe der Druckzone bedeuten, während die übrigen Voraussetzungen und Bezeichnungen wie im vorigen Falle bleiben und die Elastizitätsmoduln des Eisens für Zug und Druck als gleich gelten sollen. Dann hat man bei x die Höhe der Druckzone:

[742] und pro Flächeneinheit Querschnitt die größte Beanspruchung des Betons (in der äußersten Druckfaser):

sowie die Beanspruchungen der Eiseneinlagen in Zugzone und Druckzone:

Mit f'e = 0 gelten diese Gleichungen auch bei der oben betrachteten einfachen Armierung. Ueber die Schubspannungen s. unter VI.

Da vorstehende Gleichungen konstante Breite b des gedrückten Querschnittsteils voraussetzen, so gelten sie nicht mehr, wenn bei Querschnitten der Form Fig. 8 oder 9 die neutrale Schicht in den Steg fällt, was sich z.B. bei vorläufiger Berechnung nach 13. herausstellt, aber bei doppelter Armierung nicht leicht vorkommt. Zur Bestimmung von d hat dann Gleichung 16. zu dienen, deren Anwendung unter IV. an dem Falle einfacher Armierung gezeigt ist, worauf die Ausdrücke 18. mit v = – d die größte Betonbeanspruchung ab und mit v = e – d und v = e' – d die Eisenbeanspruchungen σ_e, σ'_e liefern (σ_b und σ'_e negativ als Druck, während oben nur Absolutwerte angeführt sind).

Bezüglich des Zusammenwirkens von Beton und Eisen in der Druckzone bis zum Bruche sind übrigens weitere Versuche erwünscht. v. Emperger schloß aus dem bis jetzt vorliegenden Material [15]: Zur Berechnung der Bruchlast doppelt armierter Balken genügt es, diejenige einfach armierter Balken festzustellen, und es sind demgemäß auch die zulässigen Laden, sofern man sie aus der Bruchlast herleitet (mittels Sicherheitskoeffizienten) mit Hilfe der gleichen Rechnung und Annahme festzustellen, da vor dem Bruche nicht nur die Zugfestigkeit des Betons, sondern auch die Druckfestigkeit der Eisenstäbe im Druckgurt verloren geht.

IV. Balken. Allgemeinster Fall ohne Axialkraft (reine Biegung).

An beliebiger Stelle x seien für die wirksamen Querschnitte von Beton und Eisen Eb, Ee die konstant vorausgesetzten Elastizitätsmoduln, Sb, Se die statischen Momente in Hinsicht der durch

Eb Sb + Ee Se = 0

16.

bestimmten Achsschicht senkrecht zur Trägerebene und Jb, Je die Trägheitsmomente hinsichtlich dieser Achsschicht. Ist der Trägerquerschnitt nach Form und wirksam gedachten Bestandteilen symmetrisch zu einer Faserschicht senkrecht der Trägerebene angeordnet, so bildet diese nach 16. die Achsschicht. Für horizontale Balken mit beliebigen (vertikalen) Lasten stimmt die neutrale Schicht mit der Achsschicht überein. In den obigen Fällen II. und III. galt die Zugzone des Betons als unwirksam und führt dann 16. in ähnlicher Weise zu den Höhen 6. und 13. der Druckzone, wie dies unten für die Bedingung 19. gezeigt ist Die Normalspannung beim Querschnitt x in Entfernung υ von der neutralen Schicht für Material vom Elastizitätsmodul E drückt sich aus (Zug positiv):

wonach bei Beachtung von 1. für Betonquerschnittselemente an beliebiger Stelle x, v mit E = Eb und für Eisenquerschnittselemente an beliebiger Stelle x, ν mit E = Ee:

Ueber die Schubspannungen s. unter VI.

Aus vorstehenden Gleichungen ergeben sich mit v = – d und v = e – d die Werte 7. und mit v = – d und v = e – d bezw. e' – d die Werte 14. und 15., wenn beachtet wird, daß bei Ableitung derselben vom Betonquerschnitt nur die Druckzone als wirksam angenommen und für diese beim Ansatze von Sb, Jb die Beiträge der nicht durch Beton (sondern durch Eisen) ausgefüllten Teile nicht in Abzug gebracht wurden. Diese übliche Vereinfachung läuft darauf hinaus, das ohnehin nicht zuverlässig bekannte (zwischen etwa 10 und 30 schwankende) Verhältnis η um 1 größer zu wählen.

Obige Gleichungen kommen aber auch zur Verwendung, wenn bei Querschnitten der Form Fig. 8 oder 9 die neutrale Schicht in den Steg fällt, welche Fälle in II. und III. ausgeschlossen waren. Bezeichnet d wieder die Entfernung der neutralen Schicht von der äußersten Druckfaser und werden beim Ansatze von Sb, Jb die durch Eisen ausgefüllten Teile der Druckzone eingeschlossen, so lautet die Bedingung 16. bei einfacher Armierung:

woraus zur Bestimmung von d:

während man in 17. und 18. im gleichen Falle hat:

In ähnlicher Weise kann auf Grund von 16. und 18. in andern Fällen verfahren oder auch numerisch gerechnet werden.

V. Bogen (Gewölbe). Beliebig beanspruchte Säulen und Balken.

Den allgemeinsten Fall der Beanspruchung gerader oder einfach gekrümmter Stäbe mit Formänderungen ihrer Achse in einer Ebene (Trägerebene) haben wir, wenn beliebige Querschnitte x durch ein Moment M_x in Hinsicht der durch 16. bestimmten (oder einer sonst geeignet[743] gewählten) Achse, eine Kraft N_x in der Richtung dieser Achse und eine Kraft T_x längs des Querschnitts ergriffen sind. Denn welche Kraft R_x auch von einem der in x zusammenhängenden Stabteile her wirken mag, stets kann man ohne Aenderung des Gleichgewichts im Achspunkt von x zwei R_x parallele und gleiche Kräfte entgegengesetzter Richtungen zugefügt denken, wonach die ganze Wirkung besteht in einem Kräftepaar vom Moment M_x (in Fig. 13 durchkreuzt) und einer im Achspunkt angreifenden Kraft R_x, die ihrerseits wieder in eine Axialkraft N_x und eine Transversalkraft T_x zerfällt. Diesen allgemeinsten Fall haben wir insbesondere bei Bogen (s.d.) mit Einschluß der Gewölbe, aber auch bei nicht axial beanspruchten Säulen (axiale Beanspruchung s. unter I, wo Nx = P) und gekrümmten oder doch nicht nur durch Kräfte senkrecht zur Achse ergriffenen Balken (gewöhnliche Fälle s. unter II.–IV.). Mit den bereits unter IV. verwendeten Bezeichnungen erhält man im Querschnitt x in Entfernung υ von der Achsschicht die Normalspannung für Material vom Elastizitätsmodul E (Druck positiv):

wonach bei Beachtung von 1. für Betonquerschnittselemente an beliebiger Stelle x, v mit E = E_b:

und für Eisenquerschnittselemente anbeliebiger Stelle x, v mit E = E_e:

F_b, F_e bedeuten entsprechend den Trägheitsmomenten J_b, J_e die wirksamen Querschnitte von Beton und Eisen bei x. Es kommen nun besonders zwei Fälle in Betracht, wobei, wie unter IV. begründet, beim Ansatze von F_b, S_b, J_b der Abzug der den Eisenquerschnitten entsprechenden Anteile überlassen werden soll.

Den gewöhnlichen Fall haben wir, wenn alle durch 21. oder 22. bestimmten Normalspannungen von gleichem Vorzeichen, also Druckspannungen sind. Dann ist der ganze Querschnitt wirksam und wir erhalten bei rechteckigem Querschnitt der Breite b und Höhe h, wenn f_e, f'_e die Querschnitte der Eiseneinlagen in den Entfernungen e, e' von einer Breitekante bedeuten, in 22. und 23. (Fig. 14):

F_b + nF_e = bh + n(f_e + f'_e),

24.

Da die Achsschicht, auf welche wir M, υ beziehen, durch 16. bestimmt ist, so lautet die Bedingung für ihre Entfernung d von der Breitekante, auf welche e, e' bezogen sind:

woraus:

Unter Verwendung von 24., 25. und d nach 26. ergeben sich aus 22. die Grenzwerte der Betonbeanspruchungen mit υ = h – d und υ = – d, aus 23. die Beanspruchungen der Eiseneinlagen mit υ = e – d und υ = e' – d. In den Ausdrücken 24.–26. kann auch f_e = 0 oder f'_e = 0 sein. Sind beide Eiseneinlagen von gleichem Querschnitt und in gleichen Entfernungen von den Breitekanten angeordnet, so liefern 24.–26. mit f'_e = f_e und e + e' = h:

Den zweiten Fall hat man, wenn sich die aus 22. berechneten Normalspannungen von verschiedenen Vorzeichen ergeben, so daß sie teilweise Zug bedeuten (auf der dem Angriffspunkt drückender N_x entgegengesetzten Seite der Achsschicht). Sind die Zugspannungen so gering, daß man sie dem Beton zumuten will (wie dies insbesondere bei Gewölben vorkommt, da hier Zugspannungen möglichst vermieden werden), so bleibt es bei dieser Berechnung (Fig. 15). Bei erheblichen Zugspannungen jedoch empfiehlt es sich wieder, die Zugwiderstände des Betons unberücksichtigt zu lassen. Für die Lage der neutralen Schicht, welche nun innerhalb des Querschnitts liegt, hat man nach 20. mit σ = 0:

(J_b + nJ_e) N + (F_b + nF_e)υ M_r = 0.

29.

Bei dem oben angenommenen rechteckigen Querschnitt der Breite b und Höhe h mit Eiseneinlagen der Querschnitte f_e, f'_e in Entfernungen e, e' von einer Breitekante liefert diese Gleichung für die Entfernung u der neutralen Schicht von der andern Breitekante (Fig. 16):

[744] oder mit der Bezeichnung

nach Potenzen von u geordnet:

Weiter hat man in diesem Falle in 22., 23.:

Als Achsschicht, auf welche M_x, υ bezogen werden, behält man zweckmäßig die für den ersten Fall durch 16., 26. bestimmte Schicht bei, schon deshalb, weil sonst die Achsschicht für verschiedene Belastungen verschieden sein könnte, während die auf sie bezogenen Momente M_x im voraus zu berechnen sind. Unter Verwendung von 32., 33. ergeben sich aus 22. die größte Betonbeanspruchung mit υ = h – d, aus 23. die Beanspruchungen der Eiseneinlagen mit υ = e – d und υ = e' – d. Auch in den jetzt gültigen Formeln kann f_e = 0 oder f'_e = 0 sein. Sind beide Eiseneinlagen von gleichem Querschnitt und in gleichen Entfernungen von den zwei Breitekanten angeordnet, so hat man mit f'_e = f_e und e + e' = h aus 26., 32, 33. zur Verwendung in 22., 23.:

und aus 31. zur Bestimmung von u:

VI. Schubspannungen und Adhäsionsspannungen.

Wie bei homogenen Stäben, so kommen auch bei Betoneisenstäben die Schubspannungen praktisch nur für Balken, nicht für Bogen und Säulen in Betracht. In manchen Balkenfällen, insbesondere bei Platten, kann die Schubfestigkeit des Betons und die Adhäsion zwischen Beton und Eisen allein hinreichen, um den Schubkräften zu widerstehen. Bei T-förmigen Balken, aber (Fig. 8, 9, 12) beispielsweise verteilen sich die Schubkräfte an ungünstigen Stellen auf eine verhältnismäßig geringe Breite und hat man sich dann durch besondere Anordnungen, wie Abbiegen eines Teils der unteren Eiseneinlagen nach oben und Verankerung in der Druckzone, geholfen. Wir fallen nur horizontale Balkenträger ins Auge und bleiben bei den Bezeichnungen in II.–IV. An jeder Stelle x, υ ist die horizontale Schubspannung gleich der vertikalen Schubspannung τ (Fig. 17). Die horizontale Schubkraft bτ auf die ganze Trägerbreite b bei x, υ erreicht ihren größten Wert in der neutralen Schicht, nämlich wenn wie in II., III. die Zugwiderstände des Betons unberücksichtigt bleiben:

welcher Wert übrigens von υ = 0 bis υ = e – d gilt, wobei d im allgemeinsten Falle durch 16. bestimmt wäre. V_x bedeutet die Vertikalkraft im Querschnitt x (vgl. Balken), und da diese an den Stützen ihre Grenzwerte erreicht, so gilt das Gleiche für die horizontale und vertikale Schubkraft b₀ τ₀. Bezeichnet u den Umfang der Eiseneinlagen auf der Zugseite des Querschnitts x auf die Breite b (welcher auch V_x entspricht), so hat man die Inanspruchnahme der Adhäsion pro Flächeneinheit Oberfläche der Eiseneinlagen, die Adhäsionsspannung:

Ist wie im Falle II der gedrückte Querschnittsteil ein Rechteck der Breite b, welchem nur auf der Zugseite Eiseneinlagen vom Querschnitt f_e in Entfernung e – d von der äußersten Druckfaser entsprechen, so wird aus 37.:

worin d durch 6. bestimmt. Wenn dagegen wie in III. bei rechteckiger Druckzone der Breite b auf beiden Seiten der Achsschicht Eiseneinlagen der Querschnitte f_e, f'e in Entfernungen e, e' von der äußersten Druckfaser angeordnet sind, dann nimmt 37. die Form an:

worin d durch 13. bestimmt. Da sich diese Schubkraft von υ = 0 bis υ = e – d auf die Querschnittsbreite daselbst verteilt, so haben wir zwar bei rechteckigen Querschnitten die größte horizontale und vertikale Schubspannung gleich τ₀, während diese bei Querschnitten der Form Fig. 8 und 9 ausgedrückt ist:

τ = b/a ∙ τ0.

41.

[745] VII. Berechnung der Schnittmomente und Schnittkräfte.

Für die Schnittmomente M_x und Schnittkräfte V_x, N_x in den bisherigen Formeln gelten die bekannten statischen (vom Material unabhängigen) Gleichungen für Balken (s.d.) und Bogen (s.d.). In diesen Gleichungen kommen jedoch gewisse Größen vor, welche nicht immer gleich Null oder durch statische Gleichungen allein (ohne Zuhilfenahme der Elastizitätslehre) bestimmt sind. Bei horizontalen Balkenträgern über mehrere Oeffnungen oder mit eingespannten Enden können die Stützenmomente M, M', bei Bogen diese und der Horizontalschub statisch unbestimmt sein. Während also für statisch bestimmte Betoneisenträger dem Bisherigen nichts hinzuzufügen ist oder die Verweisung auf die Art. Balken und Bogen genügt, fragt es sich, wie bei statisch unbestimmten Betoneisenträgern die fehlenden Größen zu bestimmen sind.

Fassen wir zunächst den gewöhnlichsten Fall horizontaler Betoneisenbalken (einschließlich Platten u.s.w.) ins Auge. Die Ermittlung der statisch unbestimmten Stützenmomente erfolgt hier, abgesehen von dem für die Beanspruchungen unwesentlichen Einfluß der Schubkräfte, auf Grund der Biegungsgleichung der Stabachse:

d²y/dx² = – M_x/E_bJ_b + E_eJ_e

42.

ganz so wie bei homogenen Balken auf Grund der Navierschen Biegungsformel (s. Biegung I und Elastische Linien):

d²y/dx² = – M_x/EJ.

Für die Ausdrücke der Stützenmomente durch beliebige Belastung fallen hierbei die Nenner der rechten Seiten dieser Gleichungen heraus, wenn sie auf der ganzen Trägerlänge konstant sind. In letzterem Falle gelten also für Betoneisenbalken dieselben Ausdrücke der Stützenmomente durch beliebige Belastung wie für homogene Balken (s. Balken, auch einfache und durchlaufende). Bei konstantem Querschnitt des Balkens und Eiseneinlagen konstanten Querschnitts parallel der Stabachse haben wir diesen Fall, nicht aber beispielsweise, wenn die Eisenanlagen wie in Fig. 18 angeordnet sind. Mit ähnlichem Rechte jedoch, mit dem man bei Bestimmung der Stützenmomente homogener Balken veränderlichen Querschnitts die Formeln für Träger konstanten Querschnitts verwendet, indem man ein mittleres EJ in Betracht zieht, kann man vorläufig zur Bestimmung der Stützenmomente von Betoneisenbalken veränderlicher Querschnittsanordnung die Formeln für homogene Träger konstanten Querschnitts anwenden, indem man ein mittleres E_b J_b + E_e J_e eingeführt denkt (welches indessen bei Ermittlung der Stützenmomente durch beliebige Belastung als ausfallend nicht bestimmt zu werden braucht).

Aehnlich liegen die Verhältnisse bei Bogenträgern und gekrümmten Balkenträgern. Die Normalspannung von Material des Elastizitätsmoduls E bei x, υ ist ausgedrückt für Betoneisenträger:

für homogene Träger:

Mit Rücksicht hierauf und im Hinblicke auf die Ableitungsweise der statisch unbestimmten Größen liegt es nahe, für die Stützenmomente M, M' und den Horizontalschub H von Betoneisenträgern vorläufig dieselben Ausdrücke zu verwenden wie für homogene Träger, nur mit

E_b F_b + E_e F_e an Stelle von EF und E_b J_b + E_e J_e an Stelle von EJ,

wenn für diese Summen bei Betoneisenträgern die gleichen Voraussetzungen wie für EF und EJ bei homogenen Trägern zulässig sind. Daß dies Verfahren angesichts der zunächst erreichbaren Genauigkeit genügt, lassen die Versuche des österreichischen Ingenieur- und Architektenvereins mit einem Monier-Bogen erkennen [2].

VIII. Zulässige Beanspruchungen.

Das Gewicht von 1 cbm Beton pflegt durchschnittlich zu 2400 kg, das Verhältnis n der Elastizitätsmodule E_e, E_b vom Eisen und Beton im Mittel gleich 15 angenommen zu werden [19], [20]. Nach den Verbandsvorschriften [19] soll der Beton in der Regel nach 28tägiger Erhärtung unter normalen Witterungsverhältnissen in Würfeln von 30 cm Länge mindestens 180–200 kg pro Quadratzentimeter Druckfestigkeit besitzen und so plastisch verarbeitet sein, daß eine vollständig dichte Umschließung der Eiseneinlagen erzielt wird. Der Abstand der Oberfläche der Eiseneinlagen von der Oberfläche des Betons soll in der Regel nicht weniger als 1 cm betragen, bei geringerer Eisendicke als 1 cm kann bis 0,5 cm herabgegangen werden, wenn später Putz aufgetragen wird. Die auf Zug beanspruchten Eisenteile sind zweckmäßig am freien Ende umzubiegen oder so zu gestalten, daß dadurch ein Gleiten des Eisens im Beton erschwert wird. Die Verbandsvorschriften lassen unter ihren Voraussetzungen bei 3800–4000 kg/qcm Zugfestigkeit des Eisens folgende Beanspruchungen pro Quadratzentimeter zu:

für Beton auf Druck für Biegung	40 kg,
für Beton auf unmittelbaren Druck	35 kg,
für Beton auf Schub bei Biegung	4,5 kg,
für Beton auf Adhäsion	7,5 kg,
für Eisen auf Zug	1000 kg

Für Beton von höherer Druckfestigkeit und Eisen von höherer Zugfestigkeit als oben angeführt, sind entsprechend höhere Spannungen zulässig, für Beton bis zu 50 kg. Sofern sich bei Deckenplatten[746] und andern Balken eine höhere Schubspannung als die zulässige von 4,5 kg/qcm ergibt, ist mit Rücksicht auf die unter 45° geneigten, in der Nähe der Auflager auftretenden Zugspannungen, welche der Schubspannung gleichgesetzt werden können ([9] S. 104), ein Teil der unteren Eiseneinlagen daselbst in geneigter Richtung nach oben abzubiegen und in der Druckzone zu verankern. Die Zahl der abzubiegenden Eisen bestimmt sich daraus, daß sie die über 4,5 kg qcm hinausgehenden geneigten Zugspannungen aufzunehmen haben. Zu besserer Uebertragung der Schubkräfte aus dem Balkensteg in die Deckenplatte wird empfohlen, den Uebergang mit einer Ausrundung oder Abschrägung zu versehen (Fig. 8). Etwaige Stoßwirkungen können durch die auch sonst üblichen Zuschläge zu den Verkehrslasten berücksichtigt werden. – Nach der Ministerialvorschrift für Hochbauten [20] soll bei den auf Biegung beanspruchten Bauteilen die Druckspannung des Betons den fünften Teil seiner Festigkeit, die Zug- und Druckspannung des Eisens 1200 kg qcm nicht überschreiten, wozu jedoch bei Bauteilen mit starken Erschütterungen und Stößen die Nutzlast um 50–100% erhöht in Rechnung zu stellen ist. In Stützen darf der Beton mit nicht mehr als einem Zehntel der Druckfestigkeit beansprucht werden, bezüglich der Knickspannungen s. unter I. Die Schubspannungen des Betons sollen nicht über 4,5 kg qcm oder, wenn dies mehr ergibt, nicht über ein Fünftel der nachgewiesenen Schubfestigkeit hinausgehen. Maßgebend ist hierbei wohl, daß beim Ueberschreiten der Schubfestigkeit das Eisen mit einer dünnen Betonschicht herausgerissen würde. Die Adhäsionsspannung darf höchstens die zulässige Schubspannung erreichen. – Selbstverständlich sind diese und andre Vorschriften angesichts des noch nicht genügenden Erfahrungsmaterials nur als vorläufige anzusehen.

Bei Anordnung und Berechnung von Betoneisenkonstruktionen hat man noch sorgfältiger als bei Behandlung der älteren Eisenkonstruktionen die Fortschritte durch Versuch und Theorie im Auge zu behalten. Da die Grundlagen der Berechnung noch manches zu wünschen übriglassen und die Methoden nicht so einheitlich ausgebildet sind und werden können wie diejenigen der gebräuchlichen homogenen Konstruktionen, so läßt sich nur bei eingehender rechnerischer Durcharbeitung der einzelnen Projekte mit Rücksicht auf alle besonderen Verhältnisse den notwendigen Anforderungen genügen, worauf denn auch gerade die Vertreter der Betoneisenindustrie im Interesse der letzteren bisher hingewirkt haben. Stets sind die möglichen Abweichungen gegen gemachte Annahmen in Betracht zu ziehen und der Dimensionierung eher zu ungünstige als zu günstige Verhältnisse zugrunde zu legen, was natürlich wie immer auch bezüglich der Voraussetzungen über Einspannung der Trägerenden und sonstiger Auflagerbedingungen gilt. Demnach sollten gerade Betoneisenkonstruktionen nur durch statisch vollkommen durchgebildete Ingenieure berechnet werden.

Literatur: [1] Wayß, Das System Monier, Berlin 1887. – [2] Spitzer, Berechnung der Moniergewölbe (Verwertung der Versuchsergebnisse mit dem Wiener Probegewölbe), Zeitschr. d. österr. Ing.- u. Arch.-Vereins 1896, S. 305. – [3] v. Thullie, Ueber die Berechnung der Monierplatten, Zeitschr. d. österr. Ing.- u. Arch.-Vereins 1897, S. 193 (Moniergewölbe 1898, S. 549, gerippte Betoneisenträger 1899, S. 539). – [4] Considère, Influence des armatures métalliques sur les Propriétés des mortiers et bétons, Comptes rendus 1898, CXXVII, S. 992 und 1899, CXXVIII, S. 30; Le Génie civil 1898–9, I, Nr. 14–17 (auch Zentralblatt der Bauverwaltung 1900, S. 83, 93, und Schweiz. Bauztg. 1900, XXXXV, S. 235, 245). – [5] Ritter, Die Bauweise Hennebique, Schweiz. Bauztg. 1899, XXXIII, S. 41, 49, 59 (Säulen S. 60). – [6] Barkhausen, Die Verbundkörper aus Beton und Eisen, Zeitschr. für Architektur- und Ingenieurwesen 1901, S. 133. – [7] Barkhausen, Die Balkendecken, mit besonderer Berücksichtigung der neuen feuersicheren Deckenkonstruktionen, Stuttgart 1901 (Handbuch der Architektur, 3. Teil, 2. Bd., Heft 3). – [8] Spitzer, Ueber Versuchsergebnisse bei Erprobung von Beton- und Betoneisenkonstruktionen, Zeitschr. d. österr. Ing.- u. Arch.-Vereins 1901, S. 665. – [9] Wayß und Freytag, Der Betoneisenbau, Neustadt a. H. 1902 (Theoretischer Teil von Mörsch). – [10] Koenen, Grundzüge für die statische Berechnung der Beton- und Betoneisenkonstruktionen, Zentralblatt der Bauverwaltung 1902. – [11] Christophe, Le béton armé et ses applications, Paris et Liège 1902. – [12] Schüle, Résistance et déformations du béton armé sollicité à la flexion, Schweiz. Bauztg. 1902, XL, S. 237, 248, 264 (Versuche). – [13] Brik, Ueber die zulässige Beanspruchung der Bauflosse in Zementeisenkonstruktionen, Oesterr. Wochenschr. f. d. öffentl. Baudienst 1902, Heft 30. – [14] Haberkalt, Die Anfangsspannungen von Betoneisenkonstruktionen, Zeitschr. d. österr. Ing.- u. Arch.-Vereins 1903, S. 66. – [15] v. Emperger, Ueber die Berechnung von beiderseits armierten Betonbalken, »Beton und Eisen« 1903, Heft 3 und 4. – [16] Morsch, Versuche über die Schubspannungen in Betoneisenträgern, »Beton und Eisen« 1903, Heft 4. – [17] Provisorische Normen (schweizerische) für die Projektierung, Ausführung und Kontrolle von Bauten in armiertem Beton, Schweiz. Bauztg. 1904, XLIII, S. 15. – [18] Neue Vorschriften für den Eisenbetonbau der Stadtgemeinde New York, Deutsche Bauzeitung 1904, Mitteilungen über Zement u.s.w., S. 12. – [19] Vorläufige Leitsätze für die Vorbereitung, Ausführung und Prüfung von Eisenbetonbauten (vom Verband deutscher Architekten- und Ingenieurvereine und Deutschen Betonverein), Deutsche Bauztg. 1904, Mitteilungen über Zement u.s.w., S. 13. – [20] Bestimmungen (des preußischen Arbeitsministeriums) für die Ausführung von Konstruktionen aus Eisenbeton bei Hochbauten, Zentralblatt der Bauverwaltung 1904, S. 253.

Weyrauch.

Fig. 1., Fig. 2.

Fig. 3.

Fig. 4.

Fig. 5., Fig. 6., Fig. 7., Fig. 8., Fig. 9.

Fig. 10.

Fig. 11.

Fig. 12.

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Fig. 14., Fig. 15., Fig. 16.

Fig. 17.

Fig. 18.