Fachwerke mehrfachen Systems

Fachwerke mehrfachen Systems (mehrteiliges Fachwerk). Ein Fachwerk heißt n-teilig oder n-fachen Systems, wenn die Füllungsglieder (s. Fachwerk) oder doch eins über das andre solcher Füllungsglieder, die einen zusammenhängenden Linienzug bilden, durch andre gleichzeitig wirksame Füllungsglieder (also nicht Gegendiagonalen, s.d.) in n Abschnitte geteilt werden (Fig. 1, 2).

Das Fachwerk kann dabei statisch bestimmt oder statisch unbestimmt sein. Fig. 3 beispielsweise Hellt ein statisch bestimmtes Fachwerk doppelten Systems dar, bei dem sich allerdings sehr ungünstige Beanspruchungen ergeben würden [6], S. 67, so daß dieser Träger keine praktische Bedeutung hat. Andre Fälle sind in Fig. 36–39 angedeutet (vgl. unten). Hier sollen in erster Linie die allein wichtigen statisch unbestimmten Fachwerke mehrfachen Systems ins Auge gefaßt werden. Das gewöhnlichste und einfachste Verfahren bei der Berechnung solcher Fachwerke ist folgendes:

Das n-fache System wird in n einfache Systeme zerlegt und die Belastung auf die Knotenpunkte aller Systeme verteilt gedacht, so daß z.B. zwei einander deckende Knotenpunkte verschiedener Systeme in jedem bestimmten Belastungsfälle gleiche Belastungen erhalten. Hierauf werden die einfachen Systeme getrennt berechnet und bei der Wiedervereinigung die Beanspruchungen zusammenfallender Stäbe oder Stababschnitte addiert.

Daß dieses Verfahren zu genauen Resultaten führe, läßt sich nicht ohne weiteres annehmen; die Kontrolle desselben kann auf Grund der Elastizitätslehre stattfinden (s. Fachwerke, statisch unbestimmte). Vergleichende Berechnungen ergaben (s. [2], [4], S. 241, 248, 252, 259, 263, 269, [15], II, S. 444, 458), daß das Verfahren bei Parallelträgern mehrfachen Systems nach den Anordnungen Fig. 1, 10, 13 nahezu richtige Werte liefert, [4], S. 249, 262, 264, 322, [15], I, S. 527, 533, II, S. 458. Auch die Resultate von Bruchversuchen mit derartigen Parallelträgern standen damit genügend im Einklang [10], [13] In andern Fällen jedoch können besonders hinsichtlich der Füllungsglieder erhebliche Fehler eintreten, und zwar um so größere, je mehr der Träger vom Parallelträger abweicht. Schon Winkler empfahl daher auf Grund seiner Vergleiche, bei Trägern ohne Endvertikalen immer die genaueren Methoden anzuwenden [4], S. 256, vgl. [15], I, S. 528. Aber selbst wenn auf Grund der Elastizitätstheorie vorgegangen werden soll (s. Fachwerke, statisch unbestimmte), kann obiges Verfahren wenigstens zu der hierbei nötigen vorläufigen Berechnung der Stabquerschnitte dienen. Beispiele unmittelbarer Anwendung desselben bei doppeltem und vierfachem System, s. [6], B. 107, 108, 118, vereinfachte Anwendung für doppeltes und 2n-faches System mit gekreuzten Diagonalen s. unten. Im folgenden haben wir solche Fachwerke mehrfachen Systems im Auge, deren Stabkräfte endgültig durch Zerlegung in einfache Systeme berechnet werden sollen, oder doch Fachwerke von dementsprechender Anordnung, während die Stützenreaktionen auf beliebige Weise ermittelt werden können. Bezüglich der Verwendung geringerer zulässiger Beanspruchungen bei weniger zuverlässiger statischer Berechnung s. Dimensionenberechnung.

Die Zerlegung in einfache Systeme pflegt keinerlei Schwierigkeiten zu bieten und kann mitunter auf verschiedene Weise erfolgen, jedoch sollen die Stäbe des mehrfachen Systems so angeordnet sein, daß die entstehenden Fachwerke einfachen Systems stabile Träger von der Art des gegebenen bilden (s. Fachwerk, Träger), wie es bei der Berechnung vorausgesetzt wird. Wäre ein labiles Fachwerk dabei, so müßten die möglichen Verschiebungen desselben durch Stäbe andrer Systeme und die meist vorhandenen Knotenpunktsnietungen verhindert werden, wodurch unbeabsichtigte und außer Rechnung bleibende Beanspruchungen entstünden.

Für einfache Balkenfachwerke (Balkenfachwerke mit einer Oeffnung) einfachen Systems beispielsweise haben wir statisch bestimmte Stabililität, wenn die Stäbe zu lauter nebeneinander liegenden Dreiecken derart vereinigt werden, daß jedes derselben mit dem vorhergehenden und nachfolgenden je einen Stab gemein hat (s. Fachwerk). Demnach stellen Fig. 1, 2, 4, 7 richtige[544] Anordnungen einfacher Balkenfachwerke doppelten Systems dar. Das doppelte System Fig. 4 zerfällt in die beiden einfachen Systeme Fig. 5 und 6, das doppelte System Fig. 7 in die beiden einfachen Systeme Fig. 8 und 9, und auch die Zerlegung von Fig. 1 und 2 ist ohne weiteres klar. Der punktierte Stab in Fig. 6 darf jedoch mit dem von ihm durchkreuzten nicht gleichzeitig widerstandsfähig sein, wenn dies Fachwerk statisch bestimmt sein soll, er dient entweder als Gegendiagonale oder, ohne Beanspruchung, nur zur Wahrung der Symmetrie in Fig. 4. Letzterenfalls läßt sich das Eintragen von Spannungen z.B. dadurch verhindern, daß man die Verbindung mit dem Träger durch nicht aufsitzende Schrauben in länglichen Löchern bewirkt. Die Anordnung und Berechnung von Gegendiagonalen hätte hier ganz wie in andern Fällen für die einfachen Systeme zu erfolgen (s. Gegendiagonalen) und zeigt es sich dann von selbst, wie weit dieselben im mehrfachen Systeme reichen. Das doppelte System des gleichschenkeligen Dreiecks Fig. 10 zerfällt in die beiden einfachen Systeme Fig. 11 und 12 und das vierfache System des gleichschenkeligen Dreiecks Fig. 13 in die vier einfachen Systeme Fig. 11, 12, 14, 15. – Wenn auch Systeme des gleichschenkeligen Dreiecks (Strebenfachwerke) nicht selten sind, so kommen doch gegenwärtig ungleich mehr Fachwerke mit Vertikalen (Ständerfachwerke) vor, schon weil sich die Anschlüsse der Querträger und die Querversteifungen meist zweckmäßiger anordnen und kürzere Glieder als Druckglieder wählen lassen. Bei mehrfachem System mit Vertikalen sind zweierlei Anordnungen zu unterscheiden: mehrfaches System mit gleichgestellten Diagonalen und mehrfaches System mit gekreuzten Diagonalen. In Fig. 1 und 4 wurden bereits doppelte Systeme mit gleichgestellten Diagonalen, in Fig. 2 und 7 doppelte Systeme mit gekreuzten Diagonalen dargestellt, in Fig. 16 ist ein dreifaches System mit gleichgestellten Diagonalen und in Fig. 17 ein vierfaches System mit gekreuzten Diagonalen angedeutet. Man erkennt leicht, wie sich die Systeme noch weiter vervielfältigen lassen. Fig. 17 kann man sich nach Fig. 18, 19 aus zwei doppelten Systemen mit gekreuzten Diagonalen oder nach Fig. 20, 21 aus zwei doppelten Systemen mit gleichgestellten Diagonalen entstanden denken. Da sich jedoch die doppelten Systeme mit gekreuzten Diagonalen auf Grund der obenerwähnten Anschauung ohne weitere Zerlegung in einfache Systeme ebenso leicht wie letztere berechnen lassen (s. unten sowie [5], S.307 ff., [6], S.481 ff.), so würde die erstere Zerlegung vorzuziehen sein. – Bei durchlaufenden Balkenfachwerken mehrfachen Systems ist jede Oeffnung ganz wie für ein einfaches Balkenfachwerk anzuordnen, nur daß über den Zwischenstützen die Endvertikalen der zwei anliegenden Oeffnungen zu einer Vertikale zu vereinigen sind. Dies gilt auch für durchlaufende Gelenkträger (s.d.), bei denen überdies den Zwischengelenken ganz wie den Enden einfacher Balkenfachwerke anzuschließen ist. So zerfällt z.B. das durchlaufende Balkenfachwerk doppelten Systems Fig. 22 in die beiden einfachen Systeme Fig. 23 und 24. Der punktierte Stab in Fig. 24 darf wieder mit dem von ihm gekreuzten nicht gleichzeitig widerstandsfähig sein, und auch in betreff etwaiger Gegendiagonalen bleibt es bei dem oben Gesagten. Man könnte[545] natürlich in Fig. 1, 4, 16, 22 jeder Diagonale zwischen den eingrenzenden Vertikalen auch die zweite mögliche Stellung geben, womit die Anordnung über den Zwischenstützen wie in Fig. 25 würde, doch hätten dann die Diagonalen der Hauptsache nach Druck aufzunehmen. Fig. 26 zeigt den Anschluß an die Zwischenstützen bei vierfachem System mit gekreuzten Diagonalen. Kommt bei durchlaufenden Balkenfachwerken das System des gleichschenkeligen Dreiecks zur Verwendung, so sind stets über den Zwischenstützen Vertikalen anzuordnen, wie es auch bei einfachem System im Falle von Fig. 27 nötig und im Falle von Fig. 28 ohne Erhöhung der statischen Unbestimmtheit zulässig ist. Durch Vereinigung der einfachen Systeme Fig. 27 und 28 entsteht das doppelte System Fig. 29, womit auch das vierfache System Fig. 30 keiner weiteren Erklärung bedarf. – Bei Bogen kommt mehrfaches System ohne Vertikalen (Fig. 31) und mit gleichgestellten Diagonalen (Fig. 32) selten vor, häufiger mehrfaches System mit gekreuzten Diagonalen (Fig. 33–35); im Falle von Sichelträgern sind die außer den Diagonalen vorhandenen Füllungsglieder mitunter nicht vertikal, sondern mehr radial gestellt worden. Zu Fig. 32, 33 ist angedeutet, wie bei Bogen (und Balken) mit Zwischengelenk an letzteres anzuschließen wäre, doch dürfen die durchstrichenen Stäbe auch wegbleiben. Alle verzeichneten Bogenfachwerke könnten auch durchlaufenden Bogen angehören (s. Bogen, durchlaufende).

Träger mehrfachen Systems des gleichschenkeligen Dreiecks (Fig. 10, 13) oder mit gleichgestellten Diagonalen (Fig. 1, 16) werden neben Trägern mehr als doppelten Systems mit gekreuzten Diagonalen (Fig. 17, 26) besonders dann angewendet, wenn es erwünscht ist, die Querträger in kürzeren Zwischenräumen folgen zu lassen, als sie sich bei einfachem System und bei doppeltem System mit gekreuzten Diagonalen ergeben würden. Die Querträger münden dann bei allen Vertikalen, wie es auch theoretisch zweckmäßig ist. Ließe man bei den Vertikalen eines der durch Zerlegung entstehenden Systeme die Querträger weg, so würde dies System bei der Zerlegung keine Verkehrslast erhalten, während doch die ganze Belastung möglichst gleichmäßig auf die einzeln Systeme übertragen und damit die Stabkräfte der Füllungsglieder entsprechend herabgesetzt werden füllten. Wenn nun auch bei richtiger Anordnung die Länge der Fahrbahnträger im mehrfachen System nur der Entfernung zwischen benachbarten Vertikalen entspricht, so pflegt man sie doch bei der Berechnung der einfachen Systeme gleich den Feldlängen der letzteren anzunehmen, womit die Genauigkeit der ohnehin nicht sehr scharfen Berechnung wenig beeinträchtigt wird.

[546] An Stelle statisch unbestimmter Balkenfachwerke mehrfachen Systems sind in neuerei Zeit statisch bestimmte Balkenfachwerke mehrfachen Systems empfohlen worden [11], nachdem bereits das doppelte System Fig. 36 und ein Träger doppelten Systems mit andrer Anordnung eines Auflagers ausgeführt waren [7], [12]. Bei den Trägern Fig. 36–39 muß der Strebenzug, wie die beigesetzten Zahlen andeuten, von einer Ständerecke ausgehen und ununterbrochen durch die ganze Wand laufend in einer andern Ständerecke endigen [11]. Zu beachten ist, daß alle diese Systeme zur Trägermitte unsymmetrisch sind, daß sie in Endvertikalen gelenkartig gedachte Knotenpunkte enthalten, und daß sie ungünstige Beanspruchungen und Formänderungen aufweisen [15], I, S. 533, II, S. 469.

Doppeltes System mit gekreuzten Diagonalen.

Im folgenden soll noch auf Beziehungen für Träger doppelten Systems mit gekreuzten Diagonalen hingewiesen werden, welche zwar auf der Zerlegung in einfache Systeme beruhen, aber die Zerlegung im einzelnen Falle überflüssig machen und wesentliche Vereinfachungen der Berechnung ergeben. Diese Vereinfachungen gehen dann auch auf die Berechnung vierfacher und überhaupt 2n-facher Systeme mit gekreuzten Diagonalen über, da solche in doppelte Systeme zerlegt werden können, deren Anzahl nur halb so groß als diejenige der sonst zu berechnenden einfachen Systeme ist. Hat man die Stäbe eines beliebigen Trägers mit Vertikalen richtig angeordnet (s. Fachwerk), so entsteht immer eine richtige Anordnung doppelten Systems mit gekreuzten Diagonalen, wenn jedem Feld, welches eine Diagonale enthält, noch eine zweite, gleichzeitig widerstandsfähige von andrer Stellung gegeben wird.

Es handle sich um einen beliebigen einfachen Träger oder um irgend eine Oeffnung eines durchlaufenden Trägers, von der Spannweite l, welche durch Vertikalen in n Felder von gleichen Längen λ geteilt ist. Die l begrenzenden Stützpunkte 0 und l können gleich oder verschieden hoch liegen. Wir führen die in Fig. 40 ersichtlichen Bezeichnungen der Stabkräfte ein, o_m, u_m, d_m, d'_m, h_m seien die Längen derjenigen Stäbe, welche durch O_m, U_m, D_m, D'_m, H_m beansprucht sind. Unmittelbar rechts vom Stützpunkt 0 und links vom Stützpunkt l denken wir uns vertikale Schnitte durch den Träger gelegt und nennen M, M' die Momente der äußeren Kräfte links der Schnitte 0 und l in Hinsicht der Stützpunkte 0 und l (Stützenmomente). Ein Schnitt s werde so durch das m te Feld gelegt, daß er nur die Stäbe o_m, u_m, d_m, d'_m trifft (Fig. 40) und soll dann S das statische Moment der zwischen den Schnitten 0 und s auf den Träger kommenden Lasten hinsichtlich des Stützpunkts 0, S' das statische Moment der zwischen den Schnitten s und l auf den Träger kommenden Lasten hinsichtlich des Stützpunkts l bedeuten. K_o, K_u seien die Lasten, welche in Vertikale m oberhalb und unterhalb eines zu berechnenden Stücks dieser Vertikale angreifen, also, wenn die Fahrbahn nicht zwischen beiden Gurtungen liegt, die Belastung des oberen und unteren Knotenpunkts m. Dann hat man bei beliebig geformten einfachen und durchlaufenden Balkenfachwerken für beliebige Belastung (entsprechende Formeln für Bogenfachwerke s. [5], § 87):

worin allgemein:

unter a_m, u_m die vertikalen Ordinaten der Knotenpunkte m im Obergurt und Untergurt bezüglich des Stützpunkts 0 als Ursprung eines rechtwinkligen Koordinatensystems verstanden. Speziell jedoch folgen bei horizontalem Obergurt

bei horizontalem Untergurt

bei symmetrischen Gurtungen (zu einer Horizontalen)

Auf Grund von 1., 2. kann man aussprechen:

Für jede bestimmte Belastung stehen die Beanspruchungen der beiden Gurtungsstäbe eines Feldes im negativen Verhältnisse ihrer Längen und ebenso die Beanspruchungen der beiden Diagonalen. Bei wechselnden Belastungen treten die Grenzbeanspruchungen der beiden Gurtungsstäbe im gleichen Belastungsfälle ein, und gleiches gilt für die Grenzbeanspruchungen der beiden Diagonalen. Hat man die Grenzbeanspruchungen einer Gurtung und der Diagonalen einer Stellung berechnet, so lassen sich die der andern nach O_m = – U_m(o_m/u_m), D'_m = – D_m(d_m'/d_m) ohne weiteres angeben. Die Beanspruchungen gleich langer Gurtungsstäbe eines Feldes und die[547] Beanspruchungen gleich langer Diagonalen eines solchen sind numerisch gleich und von entgegengesetzten Vorzeichen.

Speziell wenn in beiden einer Vertikale m anliegenden Feldern die Gurtungen zu einer beliebigen Horizontalen symmetrisch liegen (Parallelträger, Linsenträger u.s.w.), hat man nach 3. mit q = 0:

während z.B. für Parallelträger mit horizontalen Gurtungen wegen o_m = u_m = λ, h_m = h, d_m = d'_m = d, ε = ∞, g = 0 neben 8. nach 1., 2. folgen:

Uebrigens gelten die Gleichungen 3., 8. wie die weiter für H_m folgenden nicht für Vertikalen bei den Stützen, für welche wie bei einfachem System kleine Nebenrechnungen oder besondere Formeln nötig sind (s. solche [6], S. 478, 480). Die Formeln 1. und daraus abgeleitete Beziehungen (s. unten) können in einzelnen Fällen unbestimmte Ausdrücke liefern (z.B. für m = l, wenn h₀ = 0 ist), und führen dann die Bedingungen für das Gleichgewicht benachbarter Knotenpunkte oder ebenfalls besondere Formeln zum Ziel (s. solche [6], S. 488). Näheres über vorstehende Formeln und Spezialisierungen derselben [5], S. 307 u. f.

Einfache Balkenfachwerke. Für einfache Balkenfachwerke doppelten Systems mit gekreuzten Diagonalen (ein festes und ein horizontal verschiebbares Gelenkauflager) sind in obigen Gleichungen die Stützenmomente M = M' = 0. Es genügt wieder, U_m, D_m, H_m auszudrücken. Soll das Eigengewicht mit g pro Längeneinheit als gleichmäßig verteilt auf die Trägerlänge gelten und bezeichnen g_o, g_u diejenigen Teile von g, welche auf die Knotenpunkte des Obergurts und Untergurts, bei zwischen den Gurten liegender Fahrbahn jedoch auf Ko, Ku zu rechnen sind, dann ergeben sich die Werte von U_m, D_m, H_m für Eigengewicht allein:

Bei gleichmäßig verteilter bewegter Last sei p die Belastung pro Längeneinheit der ergriffenen Strecke, während U_m, D_m, H_m die Stabkräfte durch das Eigengewicht (die feste Last) vertreten, welche bei gleichmäßig verteiltem Eigengewicht durch 11.–13. ausgedrückt sind. Man erhält dann die Grenzwerte von U_m:

und speziell bei gleichmäßig verteiltem Eigengewicht, mit q = g + p':

Die Grenzbeanspruchungen der Diagonalen sind in dem gewöhnlichen Falle, daß m – ε zwischen 0 und n liegt oder die Richtungslinien der Gurtungsstäbe o_m, u_m sich außerhalb der Spannweite schneiden (für den andern, z.B. bei Sichelträgern vorkommenden Fall s. [5], S. 321):

Die Grenzbeanspruchungen der Vertikalen schließlich ergeben sich in dem gewöhnlichen Falle eines positiven g (für negative s. [5], S. 321), wenn die Fahrbahnlast im Knotenpunkte m des Obergurts angreift:

speziell für g = 0 (zu einer Horizontalen symmetrische Gurtungen):

wenn die Fahrbahnlast im Knotenpunkte m des Untergurts angreift:

speziell für g = 0 (zu einer Horizontalen symmetrische Gurtungen);

Greift die Fahrbahnlast zwischen beiden Gurten in Vertikale m an, so gelten für das Vertikalenstück von Fahrbahn bis Untergurt die Formeln 18., 19., für das Vertikalenstück von Fahrbahn bis Obergurt die Formeln 20., 21. Der erste Ausdruck 18. ist nicht genau, aber etwas zu ungünstig. Beispiele der Anwendung vorstehender Gleichungen [6], B. 109, analoge Formeln für bewegte Radlastzüge [5], § 92, Beispiele dazu [6], B. 110, 123. Spezialisierung der Formeln für gleichmäßig verteilte bewegte Last und bewegte Radlastzüge entsprechend Parallelträgern, Dreieckträgern, Parabelträgern u.s.w. [5], §§ 93, 95–97, Beispiele dazu [6], B. 112, 113, 119, 120, 122, 123. Formeln und Beispiele für Parallelträger mit ungleich langen Feldern [5], § 94[548] und [6], B. 115, 116, Berechnung eines vierfachen Systems mit gekreuzten Diagonalen (Fig. 17), [6], B. 118. Formberechnung und Beanspruchungen von Linsenträgern und Segmentträgern mit konstanten Maximalgurtungsbeanspruchungen (Paulische Träger) [5], §§ 98–100, Beispiele dazu [6], B. 125, 126, 128, 129. Ueber genaue Lastäquivalente (s.d.) an Stelle von Radlastzügen vgl. [6], A. 48 und B. 111, 114, 121, 124, 127, 130; s.a. Parallelträger, Parabelträger, Ellipsenträger, Paulische Träger.

Literatur: [1] Ritter, A., Elementare Theorie und Berechnung eiserner Dach- und Brückenkonstruktionen, Hannover 1863 (4. Aufl. 1880). – [2] Mohr, Zur Theorie des Fachwerks, Zeitschr. d. Arch. u. Ingen.-Vereins zu Hannover 1874, S. 509. – [3] Winkler, Beitrag zur Wertschätzung der Träger mit statisch bestimmtem mehrteiligem Fachwerk, Wochenblatt für Architekten und Ingenieure 1880, S. 75. – [4] Ders., Theorie der Brücken, II: Theorie der gegliederten Balkenträger, Wien 1881, S. 32, 69, 117, 239. – [5] Weyrauch, Theorie der statisch bestimmten Träger für Brücken und Dächer, Leipzig 1887, S. 302. – [6] Ders., Beispiele und Aufgaben zur Berechnung der statisch bestimmten Träger für Brücken und Dächer, Leipzig 1888, S. 474. – [7] Engesser, Umbau der Glasträgerbrücke, Zeitschr. d. Vereins deutscher Ingenieure 1890, S. 499. – [8] Ders., Die Zusatzkräfte und Nebenspannungen eiserner Fachwerkbrücken, I, Berlin 1892, S. 66. – [9] Kriemler, Zur Theorie des Ständerfachwerks mit gekreuzten steifen Diagonalen, Zeitschr. d. österr. Ing.- u. Arch.-Vereins 1896, S. 56. – [10] Lukas, Die Brückenversuche in Mumpf, Zeitsch, s. Architektur u. Ingenieurwesen, Wochenausgabe, 1896, S. 180. – [11] Mehrtens, Statisch bestimmte mehrteilige Wandgliederung der Gitterträger, Zeitschr. f. Architektur und Ingenieurwesen, Wochenausgabe, 1898, S. 328. – [12] Dietz, Beitrag zum statisch bestimmten gegliederten Balkenträger mit zweifachem Ausfüllsystem, Zeitschr. d. Vereins deutscher Ingenieure 1899, S. 230, 873. – [13] Schule, Belastungsprobe bis zum Bruche der Erlenbachbrücke der Schwarzwaldbahn, Schweiz. Bauztg. 1900, XXXV, S. 15 (s.a. Hauger 1897, XXX, S. 139). – [14] In Sachen der statisch bestimmten und unbestimmten mehrteiligen Fachwerke, Deutsche Bauztg. 1901, S. 494, 558, 575 (s.a. 1902). – [15] Müller-Breslau, Die graphische Statik der Baukonstruktionen, I, Leipzig 1901, S. 446, 459, 501, 525; II, Leipzig 1903, S. 439. – [16] Ostenfeld, Technische Statik, Leipzig 1904, S. 82. – Weitere Literatur s. Fachwerk und Fachwerke, statisch unbestimmte, Gitterträger.

Weyrauch.

Fig. 1., Fig. 2.

Fig. 3.

Fig. 4., Fig. 7.

Fig. 5., Fig. 6.

Fig. 8., Fig. 9.

Fig. 10., Fig. 13.

Fig. 11., Fig. 12.

Fig. 14., Fig. 15.

Fig. 16., Fig. 17.

Fig. 18., Fig. 19., Fig. 22.

Fig. 20., Fig. 21.

Fig. 23., Fig. 24.

Fig. 25., Fig. 26., Fig. 27., Fig. 28., Fig. 29.

Fig. 30.

Fig. 31.

Fig. 32., Fig. 33.

Fig. 34., Fig. 35.

Fig. 36., Fig. 37.

Fig. 38., Fig. 39.

Fig. 40.